Глава 10. Самоподобие и самоаффинность

Распределение вероятностей для броуновского движения удовлетворяет соотношениям подобия (9.8) и (9.10), которые аналогичны обсуждавшимся ранее соотношениям подобия (2.12), (2.13) и (2.16). Но между этими группами соотношений есть и очень важное отличие. Соотношения для броуновского движения носят более общий характер, во-первых, потому, что для него подобие обнаруживается по двум переменным, . В этом нет ничего нового - кривая Кох, показанная на рис. 2.8, зависит от двух переменных х и у, а мы уже показали, что эта кривая самоподобна с коэффициентом подобия который непосредственно связан с фрактальной размерностью кривой (см. (2.10)). Во-вторых, - и это более важно - время и координата входят в соотношение подобия с разными коэффициентами: когда время умножается на коэффициент координата умножается на

С помощью обсуждавшегося в гл. 2 соотношения подобия точки -мерного пространства преобразуются в точки с одинаковым для всех координат значением коээфициента подобия Ограниченное фрактальное множество точек У самоподобно с отношением подобия если является объединением непересекающихся подмножеств каждое из которых конгруэнтно множеству получаемому из с помощью преобразования подобия с Свойство конгруэнтности означает, что множество точек совпадает с множеством точек после переноса и/или поворота. Тогда гомотетическая размерность равна

Множество статистически автомодельно, если оно является объединением отдельных подмножеств, каждое из которых получено из преобразованием подобия с коэффициентом и обладает в точности теми же статистическими свойствами, что и Часто случайные множества, например береговая линия, являются самоподобными не только для некоторого значения коэффициента подобия но и для целого ряда его значений, превышающих некоторый нижний предел (микромасштаб) и меньших некоторого верхнего предела (макромасштаб). Для таких множеств метод покрытия дает эффективную оценку фрактальной размерности множества, и эта оценка совпадает с

Во многих интересных случаях встречаются несамоподобные множества. Например, в случае броуновской частицы ее координата и время являются разными физическими величинами, и вряд ли можно ожидать, что будут иметь одинаковые коэффициенты подобия. Так мы приходим к необходимости обсуждения понятий, связанных с самоаффинностью.

Аффинное преобразование переводит точку в новую точку с координатами где не все коэффициенты подобия одинаковы. Пример такого преобразования приведен в следующем разделе.

Ограниченное множество У самоаффинно по отношению к вектору подобия если У является объединением непересекающихся подмножеств каждое из которых конгруэнтно множеству получаемому из У с помощью аффинного преобразования, которое определяется вектором Свойство конгруэнтности означает, что множество точек У,- совпадает с множеством точек после переноса и/или поворота.

Множество У статистически самоаффинно, если У является объединением непересекающихся подмножеств, каждое из которых получено из исходного множества аффинным преобразованием с помощью и имеет в точности те же статистические свойства, что и

Дальнейшие подробности о самоаффинных и самоподобных множествах можно найти в книге Мандельброта [134] и в статьях Фосса [213, 214]. Интересные приложения повторных самоаффинных преобразований обсуждаются в работе [15].

Фрактальная размерность даже простейших самоаффинных фракталов не определяется однозначно. Эта проблема недавно обсуждалась Мандельбротом [136, 137]. Во-первых, гомотетическую размерность просто нельзя определить, она существует только для самоподобных фракталов. Можно ли определить размерность по покрытию Для множеств, подобных графику фрактальной броуновской функции эту размерность в любом случае можно вычислить формально. Для гауссова процесса с независимыми приращениями зависимость координаты от времени имеет вид, показанный на рис. 9.1. Покроем этот график клетками шириной вдоль оси времени и длиной вдоль пространственной координаты, так что самая малая клетка имеет размеры Тогда размерность по покрытию определяется аналогично соотношению (2.4) выражением

где -число клеток, необходимое для покрытия кривой. Поскольку при численном моделировании мы использовали целочисленные значения времени, минимальная ширина клетки равна а для высоты можно использовать меньшую величину Как видно из рис. действительно обнаруживает зависимость типа (10.2). Аппроксимируя полученные данные зависимостью (10.2), получаем оценку

Рис. 10.1. Число ячеек размера как функция масштаба ячеек для графика гауссова процесса с 7500 независимыми шагами: -при аппроксимация точек на графике дает -при мы получаем

Если положить т.е. сделать минимальную длину клетки равной типичной длине шага, получим (рис. 10.1,б).

Отчего возникает это различие? Пусть длительность рассматриваемого периода равна Тогда для того, чтобы покрыть ось времени, нужно отрезков длиной . В пределах каждого отрезка диапазон изменения функции имеет порядок величины чтобы покрыть такой размах, необходимо взять рядов клеток высотой каждая. Итак, для покрытия кривой необходимо количество клеток порядка

Отсюда находим соотношение для самоаффинных кривых. (10.4)

В этих рассуждениях рассматриваются клетки, размеры которых малы по сравнению как с длительностью процесса так и с диапазоном изменения функции; поэтому соотношение справедливо, когда структура кривой, описывающей фрактальную функцию, исследуюется с высоким разрешением, т. е. в локальном пределе. Поскольку для гауссова броуновского движения с независимыми шагами мы ожидаем для него что согласуется с результатом, приведенным на рис. 10.1, а.

Рис. 10.2. Число ячеек размера как функция масштаба ячеек для графика фрактальной броуновской функции с при учете 2500 шагов. Прямая линия - аппроксимация с

И для фрактальной броуновской функции с глядя на рис. 10.2, мы убеждаемся в справедливости соотношения (10.4).

Эти рассуждения неприменимы, когда для покрытия кривой используются клетки, размер которых не мал по сравнению с размахом кривой. В частности, если выбрать величину а порядка характерной длины шага то на каждом временном отрезке длительностью для покрытия кривой размахом требуется всего 1 ряд клеток и мы получаем

Теперь размерность по покрытию равна . В точности такой же результат получился на рис. где также Заметим, что если продолжать увеличение размера клетки то мы всегда будем получать это предельное значение. Увеличивая значение мы рано или поздно получаем клетки такого размера, что одна клетка может покрыть весь диапазон изменения на конечном интервале времени Теперь увеличим длительность процесса от до Число клеток, необходимых для покрытия всей кривой, увеличится пропорционально и, откуда следует, что Глобальная фрактальная размерность самоаффинной кривой равна т.е. самоаффинные кривые нефрактальны в глобальном смысле.

Мы пришли к выводу, что при анализе самоаффинных фрактальных кривых следует различать локальную фрактальную размерность глобальную фрактальную размерность .

Еще один вид размерности, которую можно вычислить непосредственно, - внутренняя размерность, получаемая, когда для измерения длины кривой вдоль нее укладывается эталон или линейка длиной 5. В случае самоподобных фрактальных кривых, подобных береговым линиям, мы ожидаем получить длину порядка

Однако вряд ли разумно вводить линейку, размерность которой

совпадает с размерностями времени, когда она укладывается вдоль оси и длины, когда она ориентирована вдоль оси Между тем именно такие свойства требуются в случае самоаффинных кривых. Впрочем, график самоаффинной функции можно перенести на миллиметровку и на ней измерять длину кривой. Выбрав линейку длиной 5, расположенную так, чтобы она покрывала временной шаг длительностью мы получим следующий вклад в общую длину кривой:

Если выбрать достаточно сильное увеличение вдоль оси т. е. использовать достаточное малое а, то второе слагаемое под квадратным корнем станет преобладающим и мы получаем Число таких отрезков вдоль оси времени равно и мы получаем общую длину

Итак, в локальном пределе, когда растягивается масштаб оси мы получили внутреннюю размерность равной Если, однако, растягивать ось времени так, что на миллиметровке становятся незаметными флуктуации преобладающим становится первое слагаемое под квадратным корнем, и мы получаем Полная длина окажется равной и поэтому . И вновь глобальная размерность равна в то время как локальная размерность фрактальна и равна Иногда эту последнюю величину называют скрытой фрактальной размерностью [135, 213], она связана с фрактальной размерностью следа броуновской частицы.

Сведения о разных видах фрактальной размерности собраны в табл. 10.1.

Таблица 10.1. (см. скан) Размерность фрактальной броуновской функции