6.5. Кривая f(a)

Кривая на рис. 6.4,б имеет несколько характерных особенностей, которые мы обсудим в разд. 6.8. Производная от имеет вид

Максимум функции равен . В точке максимума

Справедливо следующее общее утверждение: максимальное значение фрактальной размерности подмножеств равно фрактальной размерности носителя меры. В рассматриваемом нами случае эта фрактальная размерность равна 1, так как мера определена на всем единичном отрезке. Для мер, определенных на фракталах с фрактальной размерностью получаем Здесь множество имеет фрактальную размерность 1. Это не означает, что множество покрывает отрезок, содержит некоторую долю точек отрезка.

Максимум функции достигается в точке при Функция имеет производную, равную нулю, в точках, где Но сингулярная функция, так как точки, в которых образуют всюду плотное множество.

Обсуждение свойств функции дело довольно деликатное, поскольку затрагивает такие вопросы, как принадлежность (или непринадлежность) предельных точек к последовательности точек, порожденных мультипликативным процессом, см. [23, 134, 377]. Доступный обзор свойств функции см. в работе Биллингсли [24]. Мы вернемся к обсуждению свойств этой функции в гл. 10, а пока ограничимся утверждением о том, что имеет производную, равную нулю почти всюду. Тем не менее, когда возрастает от до 1, функция также возрастает от до 1. График — та самая чертова лестница, о которой мы уже упоминали. Длина кривой от начала до конца в точке (1,1) равна 2. Термин «почти всюду» означает здесь «во всех точках, за исключением множества с мерой Лебега, равной нулю». Эти исключительные точки могут быть покрыты отрезками прямой сколь угодно малой суммарной длины. Нетрудно видеть, что двоичные дроби имеют нулевую (линейную) меру. Запишем все такие дроби по порядку: Покроем первую точку отрезком длиной следующую точку - отрезком длиной , третью точку - отрезком длиной и т. д. Бесконечная последовательность таких отрезков покроет все двоичные дроби, а суммарная длина всех отрезков равна и стремится к нулю при

Существует еще одна характерная точка кривой

в которой прямая, проведенная через начало координат под углом 45° к положительному направлению оси а, касается кривой Фрактальная размерность множества таких точек равна . В величине нетрудно узнать (информационную) энтропию (см., например, [134, с. 378]) биномиального мультипликативного процесса. В мультипликативном процессе общего вида, где отрезок подразделяется на ячеек с весами как нетрудно видеть, значение равно величине

где -логарифм по основанию . В следующем разделе мы покажем, что почти вся мера сосредоточена на множестве