Глава 12. Соотношение периметра и площади

Для окружностей, квадратов, равносторонних треугольников и других многоугольников отношение периметра к квадратному корню их охватываемой площади

не зависит от размера многоугольника. Отношение одинаково для каждого семейства замкнутых кривых одинаковой формы. Для окружностей, квадратов и равносторонних треугольников это отношение равно соответственно и 6/31/4.

Для семейства подобных островов различных размеров отношение длины нефрактальной береговой линии любого острова к квадратному корню из его площади не зависит от размера острова. Однако, если береговая линия фрактальна, то ее длина зависит от длины эталона 5, с помощью которого меряется длина и при Напротив, площадь острова измеряемая с помощью его покрытия квадратами площадью 52, остается конечной при 5 0. Как показал Мандельброт, для фрактальных кривых расходящееся отношение следует заменить в каждом случае следующей модификацией:

Здесь фрактальная размерность береговых линий островов, имеющих подобные очертания. Отношение не зависит от размера острова, но оно зависит от выбора эталона длины.

Соотношение периметра и площади, выраженное равенством (12.1), вытекает из определения фрактальной размерности содержащегося в выражениях (2.3) и (2.4). Это можно усмотреть из сравнения двух подобных островов разной площади, показанных на рис. 12.1. Площадь и длина береговой линии каждого из островов измеряются с помощью эталона, длина которого зависит от площади данного острова. Площадь острова равна когда она измеряется эталоном фиксированной длины 5, а параметр -некоторое произвольно малое число, скажем, 0,0001. Длина береговой линии острова равна периметру многоугольника, состоящего из отрезков длины , т. е. в этом приближении

Рис. 12.1. Два подобных острова, обмеряемые с помощью эталона, длина которого зависит от площади острова.

Теперь можно сделать важное замечание: для подобных островов не зависит от размера острова. Однако из соотношения (2.3) следует, что длина береговой линии острова равна Таким образом, мы приходим к равенству

Выразим 5 через

и получим, что отношение

не зависит от размера острова. Однако это отношение зависит от длины 8 используемого эталона и принятого значения произвольного множителя Поэтому, несмотря на то что связано с формой островов, эта величина включает также произвольные множители, и мы по-прежнему не имеем общей характеристики формы острова. Можно заключить, что острова, очертания которых подобны, удовлетворяют соотношению периметра и площади

полученному Мандельбротом. Это соотношение удовлетворяется для любого эталона длины 8, достаточно малого, чтобы удовлетворительно обмерять самый малый из островов. Коэффициент пропорциональности зависит от произвольного параметра Соотношение (12.2)

лежит в основе практического определения фрактальной размерности в нескольких интересных случаях, обсуждаемых в последующих разделах.

Чтобы привести пример соотношения периметра и площади, рассмотрим остров, ограниченный квадратичной кривой Кох (см. рис. 2.9). Первичным элементом кривой является квадрат со стороной а. Генератор кривой при замене каждой ее стороны добавляет малый «полуостров» и вырезает участок «побережья» такого же размера. Поэтому при повторных преобразованиях кривой не меняется охватываемая ею площадь Периметр кривой порядка, равен длине береговой линии, если она измеряется с помощью эталона длины Поэтому порядок кривой можно выразить через ее площадь, и мы получаем Здесь есть фрактальная размерность береговой линии острова, ограниченного квадратичной кривой Кох. Итак, такие острова удовлетворяют соотношению периметра и площади вида (12.2) с коэффициентом пропорциональности

Другой пример связан с триадной кривой Кох. Здесь под островом будем понимать участок плоскости, заключенный между начальным элементом, т. е. отрезком длины а, и предельной кривой Кох (см. рис. 2.8). Охватываемая площадь равна а полная длина береговой линии порядка равна если используется эталон длины Это приводит к равенству

Как видим, если пренебречь первым членом в правой части, то получится соотношение периметра и площади (12.2). Отброшенный член представляет собой нефрактальный прямой участок границы островов. Этот пример показывает, что соотношение периметра и площади (12.2) может быть справедливо только в пределе малой длины эталона 5, когда длина фрактальной части береговой линии преобладает над вкладом любой регулярной части береговой линии. Нетрудно построить более сложные примеры, в которых разные участки берега имеют разные фрактальные размерности. В этом случае анализ показывает, что отношение периметра и площади определяется наибольшим значением фрактальной размерности.