2.8. Функция Вейерштрасса-Мандельброта

В качестве примера масштабно-инвариантной фрактальной кривой рассмотрим фрактальную функцию Вейерштрасса-Мандельброта определяемую соотношением [134]

Следует заметить, что зависит от тривиальным образом, так как только параметр определяет, какая часть кривой видна, когда аргумент изменяется в заданном интервале. Параметр должен принимать значения в диапазоне произвольная фаза (каждый выбор фазы соответствует другой функции Функция Мандельброта-Вейерштрасса непрерывна, но не дифференцируема ни в одной точке! Простая разновидность этой функции получается, если положить Косинусной фрактальной функцией Вейерштрасса - Мандельброта называется действительная часть функции

Этой функции была посвящена работа Берри и Льюиса [22]. Принято считать, что эта функция фрактальна с размерностью Известно, что она действительно имеет размерность если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не размерность Хаусдорфа - Безиковича. Недавно Молдин [152] доказал, что фрактальная размерность функции Вейерштрасса-Мандельброта заключена в пределах

Входящая в это неравенство постоянная В достаточно велика для того, чтобы оно выполнялось и при больших

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

Мы вычислили значения функции Вейерштрасса - Мандельброта при нескольких значениях параметров в интервале «времени» (рис. 2.17). При малых значениях функция по существу гладкая, но когда возрастает до 2, начинает сильно флуктуировать и напоминает шум в электронных цепях. Этот шум накладывается на общий тренд к возрастанию. Функция С -однородная и удовлетворяет соотношение однородности

Следовательно, если мы знаем функцию на некотором интервале значений то тем самым она известна при любых . В качестве примера сравним функцию при (рис. 2.18, а) с той же функцией, вычисленной в интервале (рис. Нетрудно видеть, что графики на обоих рисунках подобны. Действительно, из соотношения (2.16) следует, что если в кривой, изображенной на рис. заменить на на как это сделано на рис. 2.18, в, то в результате получится исходная функция, изображенная на рис. 2.18, а. В этом и проявляются скейлинговые свойства функции

Следует подчеркнуть, что кривая не самоподобна, а самоаффинна, так как и в направлении оси и в направлении оси мы использовали различные масштабные множители Более подробное обсуждение см. в гл. 10.

Функцию Вейерштрасса-Мандельброта можно использовать для получения случайных фрактальных кривых, выбирая случайным образом фазу из интервала ( Такие функции рассматривали Берри и Льюис [22]. Одна из последних работ по функции Вейерштрасса - Мандельброта выполнена Фоссом [213].