2.8. Функция Вейерштрасса-Мандельброта
В качестве примера масштабно-инвариантной фрактальной кривой рассмотрим фрактальную функцию Вейерштрасса-Мандельброта
определяемую соотношением [134]
Следует заметить, что
зависит от
тривиальным образом, так как только параметр
определяет, какая часть кривой видна, когда аргумент
изменяется в заданном интервале. Параметр
должен принимать значения в диапазоне
произвольная фаза (каждый выбор фазы
соответствует другой функции
Функция Мандельброта-Вейерштрасса непрерывна, но не дифференцируема ни в одной точке! Простая разновидность этой функции получается, если положить
Косинусной фрактальной функцией Вейерштрасса - Мандельброта называется действительная часть функции
Этой функции была посвящена работа Берри и Льюиса [22]. Принято считать, что эта функция фрактальна с размерностью
Известно, что она действительно имеет размерность
если под этим термином понимать клеточную размерность, но, по-видимому, не размерность Хаусдорфа - Безиковича. Недавно Молдин [152] доказал, что фрактальная размерность
функции Вейерштрасса-Мандельброта заключена в пределах
Входящая в это неравенство постоянная В достаточно велика для того, чтобы оно выполнялось и при больших

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)
Мы вычислили значения функции Вейерштрасса - Мандельброта при нескольких значениях параметров в интервале «времени»
(рис. 2.17). При малых значениях
функция по существу гладкая, но когда
возрастает до 2, начинает сильно флуктуировать и напоминает шум в электронных цепях. Этот шум накладывается на общий тренд к возрастанию. Функция С
-однородная и удовлетворяет соотношение однородности
Следовательно, если мы знаем функцию
на некотором интервале значений
то тем самым она известна при любых
. В качестве примера сравним функцию
при
(рис. 2.18, а) с той же функцией, вычисленной в интервале
(рис.
Нетрудно видеть, что графики на обоих рисунках подобны. Действительно, из соотношения (2.16) следует, что если в кривой, изображенной на рис.
заменить
на
на
как это сделано на рис. 2.18, в, то в результате получится исходная функция, изображенная на рис. 2.18, а. В этом и проявляются скейлинговые свойства функции
Следует подчеркнуть, что кривая
не самоподобна, а самоаффинна, так как и в направлении оси
и в направлении оси
мы использовали различные масштабные множители
Более подробное обсуждение см. в гл. 10.
Функцию Вейерштрасса-Мандельброта можно использовать для получения случайных фрактальных кривых, выбирая случайным образом фазу
из интервала (
Такие функции рассматривали Берри и Льюис [22]. Одна из последних работ по функции Вейерштрасса - Мандельброта выполнена Фоссом [213].