6.6. Концентрация меры

Мультипликативный процесс порождает популяцию, которая концентрирует подавляющую часть первоначально равномерно распределенной популяции на множестве-носителе. В n-м поколении мера на множестве определяется выражением

Приближенное выражение в правой части получается из формул (6.10) и (6.14) при разложении экспоненциальной функции относительно максимального значения при Мера множества как функция от имеет очень острый пик в окрестности и с увеличением убывает, как 1/2. Однако конечная часть полной меры содержится в объединении множеств

где при . В этом нетрудно убедиться, если заметить, что мера множества определяется выражением

(напомним, что поэтому где верхний предел интегрирования вычисляется по формуле

Верхний предел определяется условием т.е. условием, согласно которому мера множества составляет конечную (отличную от нуля) долю от всей популяции. Найдя мы получаем

Это доказывает, что мера сосредоточена на множестве . В пределе при мы заключаем, что множество по существу совпадает с множеством и имеет фрактальную размерность, определяемую

энтропийной размерностью У [134]. Описанный выше процесс концентрации меры Мандельброт называет свертыванием.

Подведем итоги. Мы установили, что доля меры, сколь угодно близкой к 100%, сосредоточена в множествах с таким значением при котором величина близка к своему максимуму. Эти множества имеют фрактальную размерность, определяемую энтропией мультипликативного процесса. Разумеется, аналогичные рассуждения приводят к заключению о том, что конечная доля точек отрезка содержится в множествах с для которых величина близка к своему максимуму. Эти множества имеют фрактальную размерность, определяемую фрактальной размерностью носителя, которая в рассматриваемом случае равна 1.