11.2. R/S для данных, очищенных от сезонных вариаций

Вопрос о том, как оценить влияние периодических компонент на получаемое значение показателя Херста, мало обсуждался в научной литературе [147]. Поэтому мы очистили данные наблюдений от сезонных вариаций. В результате такой поправки мы можем представить наблюдательные данные в виде временных рядов, подобных показанному на рис. 11.4.

Рис. 11.4. Нормированная высота волн поправленная на сезонные вариации, как функция времени по наблюдениям в Тромсёфлакет. Нижний рисунок показывает сумму как функцию времени 168].

Нормированная высота волн имеет нулевое среднее значение и единичную дисперсию так что рис. 11.4 можно непосредственно сравнивать с фрактальным шумом и фрактальными функциями, представленными на рис. 9.4 и 9.5. Из графика на рис. 11.4 явствует, что отклонения X велики по сравнению с шумом. Результаты расчета R/S по очищенным высотам волн, показанные на рис. 11.5, теперь обнаруживают две области с разными свойствами. На временах, не превышающих примерно 10 дней, мы сталкиваемся с персистентной статистикой с Напротив, при запаздываниях, превышающих дней, мы находим что согласуется со статистической независимостью значений

Рис. 11.5. Отношение R/S как функция запаздывания (в годах) для процесса, в котором поправленные на сезонные вариации и отнормированные высоты характерной волны в Тромсёфлакет рассматриваются как шаги (обобщенного) случайного блуждания. Линиями показаны аппроксимации законом Херста При дней аппроксимация дает а при дней мы получили .

Рис. 11.6. Число ячеек размера как функция масштаба ячейки для суммы нормированных высот волн Использованы измерения в Тромсёфлакет в период 1980-1983 гг.; выбрано по одному измерению на каждые На верхнем графике минимальный размер ячейки равен Прямая соответствует аппроксимации при На нижнем графике также но размер ячейки по времени равен Аппроксимация дает

При около 1 года по-прежнему имеется небольшая аномалия, но она гораздо слабее, чем раньше. Указания на определенно персистентное поведение при дней не изменились по сравнению с зависимостью R/S для исходных данных с рис. 11.2, для которых в этом диапазоне. Это говорит о том, что метод R/S действительно приводит к робастной мере статистики временных рядов, как уже указывалось в работе [147].

В гл. 10 мы показали, как фрактальную размерность самоаффинной кривой, подобной на рис. 11.4, можно оценить методом покрытия при условии, что мы будем иметь в виду возможную зависимость результата от размера и формы исходных клеток. На рис. 11.6 показан результат применения метода покрытия к данным о высоте волн.

Используя малые клетки, мы измеряем локальную фрактальную размерность. Наименьший размер клетки, которую можно использовать с нашими данными, определяется разрешением наблюдений, т. е. При клетках такого размера мы получили что действительно удовлетворяет соотношению (10.4), где при показателе Херста найденном для дней. С другой стороны, увеличивая размер клеток до вдоль оси времени, мы получаем что совпадает со значением, ожидаемым для случайного процесса с независимыми приращениями.

И вновь выполняется соотношение где получено для дней.

Важно помнить, что переход от объясняется не переходом от локальной к глобальной фрактальной размерности самоаффинной кривой. Обе фрактальные размерности были найдены с использованием самого высокого разрешения по высоте волны, допускаемого имеющимися данными ( и обе они являются локальными размерностями. Наблюдаемая перестройка объясняется переходом от персистентного к случайному поведению, который проявляется в локальных значениях

Можно заключить, что статистика высоты волн персистентна с весьма большим значением показателя Херста ; на это указывают как метод так и оценка размерности по покрытию фрактального графика процесса. На масштабе времени около 2 недель персистентность сменяется случайным процессом с независимыми значениями. Следует также заметить, что это не означает, что нормированная высота волн в этом диапазоне представляет собой гауссов процесс с независимыми значениями. Это определенно не так, поскольку распределение вероятностей несимметрично и не допускает отрицательных значений высоты волн. Однако, как отмечают Мандельброт и Уоллис [147], даже очень сильно негауссовы случайные процессы с независимыми значениями, имеющие лог-нормальное, гиперболическое или гаммараспределение приращений, характеризуются значением при обработке методом который является в сильной степени робастным.

Наши результаты по фрактальной статистике высот морских волн следует учитывать при предсказании высоты самой высокой волны на основе ряда наблюдений высоты волнения. Однако, насколько мы знаем, фрактальная статистика, которая была бы применима для таких предсказаний, до сих пор не построена. Все многообразие статистических следствий фрактальной природы высот волн еще предстоит раскрыть и использовать.