2.6. Кривые Мандельброта-Гивена и Серпинского

Построение кривых Кох, изображенное на рис. 2.13, принадлежит Мандельброту и Гивену [140]. Образующий элемент для этой кривой делит прямолинейный отрезок на части длиной и соединяет их в петлю, состоящую из трех частей, к которой пристраиваются две ветви.

Мандельброт и Гивен использовали эту кривую и аналогичные кривые в качестве моделей перколяционных кластеров, которые мы рассмотрим в гл. 7. Кривая Мандельброта-Гивена интересна тем, что имеет петли всех возможных размеров и ветви (выступы) всех возможных размеров.

Рис. 2.13. Последовательные этапы построения кривой Мандельброта-Гивена. Высота образующего элемента несколько уменьшена, чтобы можно было проследить структуру кривой. Фрактальная размерность Мандельброт и Гивен [140] описывают также случайные варианты этой кривой.

И выступы, и петли декорированы петлями и выступами и т. д. При каждой итерации (переходе от одного поколения предфракталов к следующему) образующий элемент производит замену каждого прямолинейного звена в предфрактале на звеньев, уменьшенных с Используя формулу (2.10) для размерности подобия, мы заключаем, что кривая Мандельброта-Гивена имеет фрактальную размерность

Вообразим кривую Мандельброта-Гивена, изготовленную из какого-нибудь электропроводного материала, и пусть ток течет от левого конца кривой к правому. Ясно, что ни в одной ветви, возникающей из двух вертикальных отрезков образующего элемента, тока не будет. Ток будет течь только по остову - по кривой, которая получится, если от кривой Мандельброта-Гивена отсечь все ветви, соединенные с исходным прямолинейным отрезком (затравкой) только одной связью.

Рис. 2.14. Построение кривой Мандельброта-Гивена без ветвей. Эта кривая получена с помощью образующего элемента с одной петлей. Фрактальная размерность

Отбросив все ветви, мы получим кривую, изображенную на рис. 2.14. (При построении этой кривой образующий элемент применялся в таких направлениях, чтобы углы получающейся ломаной не соприкасались между собой.) Фрактальная размерность такой кривой без свободных («висячих») концов равна так как образующий элемент заменяет каждый прямолинейный отрезок отрезками, уменьшенными копиями заменяемого отрезка. В скольких местах мы можем перерезать ординарную (односвязную) связь, чтобы концы затравки оказались разъединенными? Каждый раз, применяя образующий элемент, мы порождаем односвязных связей, поэтому эти связи образуют множество точек с фрактальной размерностью

Кривые Мандельброта-Гивена обладают многими интересными геометрическими свойствами, которые не находят отражения в фрактальной размерности кривой как целого. Действительно, такие подмножества, как остов, односвязные связи и другие, также являются фрактальными множествами со своими собственными фрактальными размерностями. Недавно удалось выяснить, что многие физические процессы естественным образом выбирают те подмножества структур, на которых они происходят, и поэтому при рассмотрении таких процессов необходимо использовать много фрактальных размерностей (более подробно об этом см. в гл. 6).

Рис. 2.15. Построение треугольной салфетки Серпинского. Затравка - треугольник со всеми внутренними точками. Образующий элемент исключает из затравки центральный треугольник. Справа: четвертое поколение предфракталов; фрактальная кривая получается в пределе при бесконечно большом числе поколений и имеет фрактальную размерность

Существует еще одно построение [133, 134], порождающее кривую с петлями всех размеров. Это салфетка Серпинского, изображенная на рис. 2.15. При каждом применении образующего элемента треугольник, рассматриваемый вместе с внутренними точками, заменяется треугольниками, уменьшенными с коэффициентом поэтому из соотношения (2.10) следует, что размерность подобия в этом случае равна . С салфеткой Серпинского тесно связана другая кривая - так называемый ковер Серпинского. Он изображен на рис. 2.16. Бесконечно много поколений предфракталов порождают фрактальную кривую. «Толстые» (черные) участки предфракталов при переходе к предельной фрактальной кривой исчезают, а полный периметр дыр в ковре Серпинского становится бесконечным.

Кривые Серпинского использовались в качестве моделей многих физических явлений. Гефен и др. [70] опубликовали отчет о первом систематическом исследовании критических явлений, происходящих вблизи фазовых переходов в спиновых системах, носителем которых служат самоподобные фрактальные решетки. В интересном эксперименте Гордона и др. [73] была измерена температура перехода сверхпроводящей фазы в нормальную как функции от приложенного магнитного поля на образце алюминиевой пленки, имевшей структуру предфрактала 10-го поколения салфетки Серпинского.

Рис. 2.16. Построение ковра Серпинского. Затравка квадрат, а образующий элемент (слева) состоит из квадратов, полученных из затравки преобразованием подобия (сжатием) с коэффициентом подобия Справа: четвертый этап построения; размерность подобия

Зависимость температуры фазового перехода имеет вид самоподобной фрактальной кривой и находится в превосходном количественном согласии с теоретическими предсказаниями.