6.1. Свертывание и чертова лестница

Условимся понимать под канторовским множеством нечто, отличное от абстрактного триадного канторовского множества. Будем считать затравкой не единичный отрезок, а стержень из какого-нибудь материала с плотностью Исходный стержень имеет длину следовательно, массу Операция, связанная с применением образующего элемента, состоит из разрезания стержня на две половины равной массы которые затем в результате ковки укорачиваются до длины (одинаковой для обеих половин). В результате такой обработки плотность возрастает до Повторяя всю процедуру, мы получаем в поколении маленьких стержней, каждый из которых имеет длину и массу при Заметим, что масса в ходе обработки сохраняется, поэтому

Мандельброт [133, 134] сравнивает этот процесс со свертыванием

молока, так как первоначально равномерное распределение массы в результате разбивается на множество мелких областей с высокой плотностью.

Из сказанного следует, что масса отрезка длиной где определяется выражением

Скейлинговый показатель здесь равен Плотность каждого из малых отрезков стержня определяется выражением

и расходится при Скейлинговый показатель давно известен в математике как показатель Липшица-Гёльдера, который мы обсудим в разд. 6.4. Этот показатель ведает сингулярностью плотности и может быть назван показателем сингулярности.

На рис. 6.1 изображен вариант триадного канторовского множества. Высота каждого фрагмента определяется его плотностью Мы видим, что эта модификация канторовского построения требует скейлингового показателя а для описания того, как возрастает высота фрагментов стержня при уменьшении их ширины. Можно сказать, что сингулярности с показателем а имеют носитель с фрактальной размерностью

Рис. 6.1. Триадный канторовский стержень. Стержень единичной длины и единичной массы делится пополам. Каждая половина подвергается перековке, в результате которой ее длина сокращается, а плотность увеличивается. Высота стержня в поколении пропорциональна его плотности Показатель Липшица-Гёльдера , фрактальная размерность носителя массы

Рис. 6.2. Масса триадного канторовского стержня как функция координаты, отсчитываемой вдоль стержня. Эта кривая называется чертовой лестницей.

Выше мы рассматривали как вклад фрагмента в массу канторовского стержня. Полученные нами результаты остались бы неизменными, если бы под мы понимали электрический заряд, магнитный момент, гидродинамическую завихренность или вероятность для некоторых явлений. В общем случае может быть мерой любой величины, имеющей носителем геометрическое множество.

На основе канторовского стержня можно получить интересную конструкцию, так называемую чертову лестницу. Выбрав за начало отсчета левый конец стержня изображенного на рис. 6.1, запишем массу, содержащуюся на отрезке в виде

Здесь «плотность» равна нулю в промежутках и равна бесконечности во всех бесконечно многих точках, образующих канторовское множество. Масса остается постоянной на интервалах, соответствующих пустым промежуткам. Длины таких интервалов в сумме равны 1, т.е. длине всего исходного стержня. Следовательно, на отрезке, равном длине интервала, не изменяется. Отсюда можно было бы сделать заключение, что и такое заключение было бы

правильным для обычной гладкой кривой. Но масса возрастает бесконечно малыми скачками в точках канторовского множества, и эти скачки в сумме дают Зависимость массы от представленная на рис. 6.2, напоминает лестницу (называемую чертовой лестницей), которая почти всюду горизонтальна. Самоаффинная природа чертовой лестницы становится очевидной, если взглянуть на рис. 6.2. Причины, по которой чертова лестница возникает во многих физических системах, анализируются в работе Бака [13].