5.2. Скейлинг с неравными отношениями

Что произойдет, если два отрезка в образующем элементе канторовского множества не будут равными? На рис. 5.3 показан канторовский стержень, который получается, когда первый отрезок образующего элемента имеет длину а второй Вычислим фрактальную длину такого весьма простого канторовского множества У.

Это фрактальное множество У может быть покрыто некоторым числом пересекающихся отрезков Пусть - евклидова длина (диаметр) множества, так что умещается в (гипер) кубе с ребром При разбиении с -мера (2.3), использованная для определения размерности Хаусдорфа-Безиковича, равна

Критическая размерность получающаяся в пределе при есть фрактальная размерность данного множества.

Рис. 5.3. Построение двухмасштабного канторовского стержня Фрактальная размерность такого канторовского множества

Заметим, что это определение совпадает с определением, данным Мандельбротом для кривых Хельги фон Кох, для которых различные отрезки уменьшались в отношении Размерность подобия такого множества есть размерность, удовлетворяющая соотношению

о чем мы говорили при обсуждении формулы (2.11).

В качестве примера рассмотрим канторовское множество, построенное, как на рис. 5.3. В поколении число отрезков равно Самый короткий отрезок имеет длину самый длинный . Всего имеется отрезков длиной при поколении мера определяется выражением

Так как при мы заключаем, что мера остается конечной в том и только в том случае, если где удовлетворяет соотношению

Численное решение уравнения (5.7) при дает