7.7. Остов перколяционного кластера

Мы обсуждаем теорию перколяции, используя образ «жидкости», смачивающей «поры» после ее впрыскивания в каком-либо одном узле. При таком подходе предполагается, что поры пусты и ничто не мешает жидкости заполнить любую пору. Этот процесс можно реализовать на практике, впрыскивая ртуть в пористый материал, из которого предварительно откачан воздух.

Рассмотрим поры, образующие решетку и заполненные несжимаемой жидкостью (маслом). Впрыскивается другая жидкость (вода). Она может вытеснить масло только вдоль остова перколяционного кластера. Части перколяционного кластера, связанные с его остовом через единственный узел, называются обособленными ветвями. Чтобы отделить обособленную ветвь от остова, достаточно удалить этот единственный узел, т. е. перерезать одну обособленную связь.

Рис. 7.13. Перколяционный кластер и его остов (черный цвет) по результатам моделирования на квадратной решетке размером при

Вытесняющая жидкость (вода) не может проникнуть в обособленные ветви, потому что запертому там маслу просто некуда деться.

Остов включает все узлы, лежащие на всех возможных траекториях несамопересекающегося случайного блуждания, начинающихся в узле (узлах) впрыскивания и заканчивающихся на границе области. Несамопересекающееся случайное блуждание не может привести в обособленную ветвь, потому что иначе для возвращения на остов пришлось бы дважды побывать в единственном узле, связывающем с ним эту ветвь.

Конкретная реализация перколяционного кластера и его остова показана на рис. 7.13 для перколяции по узлам квадратной решетки на пороге протекания. Остов связывает узел, находящийся в центре квадратной решетки размером с узлами на ее границе. Перколирующий кластер содержит 6261 узел, в то время как в остове всего 3341 узел.

Мы изготовили лабораторную модель перколяционного кластера, показанного на рис. 7.13 [168]. Модель сделана из эпоксидной смолы и имеет цилиндрические поры диаметром и высотой Поры связаны каналами шириной Модель заполнялась вязким подкрашенным глицерином. Обычный эксперимент по вытеснению состоял в том, что в центре объема впрыскивался воздух, который вытеснял глицерин, вытекавший из модели.

Рис. 7.14. (см. скан) а-Воздух, вытесняющий глицерин с большим капиллярным числом в перколяционном кластере, показанном на рис. 7.13; -численное моделирование вытеснения жидкости в том же перколяционном кластере. Различными оттенками серого цвета показаны поры, которые воздух занимает в последовательные моменты времени. И в эксперименте, и при численном моделировании число пор, заполненных воздухом, в последовательные моменты времени составляло 30 (черные), 86, 213, и, наконец, 605 (светло-серые) при начале перколяции. Остов показан очень бледным серым цветом. Среди цветных вкладок есть вариант этих рисунков [168].

Результаты эксперимента, показанные на рис. 7.14, очень наглядно иллюстрируют, что вытеснение происходит только вдоль остова.

Процесс вязкого вытеснения в фрактальном перколяционном кластере можно моделировать численно, решая уравнение движения (4.3) с соответствующими граничными условиями [162, 168]. На рис. 7.14 мы приводим также результаты численного моделирования течений в перколяционном кластере, исследованном в лабораторном эксперименте, при высоких капиллярных числах.

Результаты, полученные в лабораторном эксперименте и при численном моделировании, очень хорошо согласуются. И в эксперименте, и в численных результатах совпадают 70-80% узлов, заполненных воздухом на каждом этапе вытеснения.

Рис. 7.15. (см. скан) Остовы перколяционного кластера на квадратной решетке, показанного на рис. 7.2, б, при критической концентрации связывающий отдельный узел на левой границе решетки размеров с отдельным узлом на правой границе; -остов, связывающий все узлы на левой и правой границах.

Отдельные реализации численной модели также совпадают друг с другом примерно на 75%. Это согласие говорит о том, что на пороге протекания вытеснение почти полностью определяется геометрическими факторами, потому что численная модель не учитывает такие эффекты, как межфазные напряжения и смачиваемость, которые, как известно, влияют на свойства двухфазных течений в пористых средах.

Вид остова перколяционного кластера зависит от того, как расположено место (или места) впрыскивания и место (места) вытекания. Для примера рассмотрим перколяционный кластер на границе протекания показанный на рис. Остов, связывающий отдельный узел на левой границе с отдельным же узлом на правой границе, показан на рис. 7.15, а, а на рис. 7.15, б изображен остов, связывающий все узлы левой и правой границ.

Узлы остова образуют подмножество узлов перколяционного кластера, и каждый узел перколяционного кластера является также частью по меньшей мере одного остова. Поскольку перколяционные кластеры фрактальны и их размерность равна остовы перколяционных кластеров также фрактальны и их размерность подчиняется неравенству Большое число численных моделей (на пороге протекания показали, что масса остова, связывающего границы квадрата со стороной равна

Оценки фрактальной размерности остова заключены в пределах , а недавно была получена оценка . Кривая Мандельброта-Гивена, показанная на рис. 2.14, может служить разумной моделью остова перколяционного кластера, и ее фрактальная размерность достаточно близка к размерности остова.

Процесс вязкого вытеснения в перколяционном кластере выделяет лишь некоторое подмножество узлов остова. Это подмножество зависит от капиллярного числа. Лабораторные эксперименты и численные расчеты [168] показывают, что фрактальная размерность структуры вязких пальцев равна при высоких значениях и 1,5 при низких

Изучая различные физические явления, происходящие на фракталах, мы получим в общем различные фрактальные размерности. Это происходит потому, что выбор конкретного физического процесса, происходящего на фоне фрактальной геометрии, по сути дела равнозначен выбору меры этого фрактального множества. Поэтому изучение физических явлений на фрактальных множествах естественным образом приводит к понятию мультифракталов, обсуждавшихся в предыдущей главе. Распределения тока и флуктуации сопротивления фрактальных цепей, состоящих из (нелинейных) сопротивлений, приводят к бесконечным наборам показателей, или мультифракталам (см. [4, 25, 26, 45, 182]).

Остовы имеют много геометрических особенностей, которые также фрактальны. Рассмотрим две точки, связанные остовом, который показан на рис. 7.15,а.

Длина кратчайшего пути между этими точками (равная числу узлов, которые необходимо посетить на этом пути) оказывается следующим образом зависящей от размера области I, т. е. евклидова расстояния между точками (см., например, [83]):

На изображениях остовов, показанных, например, на рис. 7.15, заметно, что они состоят из «пузырей», соединенных «перемычками» [46, 199, 201]. Перемычки, которые Стэнли [201] называет также красными связями, обладают тем свойством, что если их перерезать, то остов распадается на две части и жидкость больше не может протечь от места впрыскивания до места вытекания. В пузырях связи продублированы и перерезание такой связи, т.е. удаление узла, не прерывает течения. Связи, соединяющие узлы внутри пузырей, Стэнли называет синими связями. Причина такой «раскраски» связана с электрическим аналогом протекания, когда ток течет сквозь перколяционный кластер от одного контактного узла (места впрыскивания) к другому краю кластера, где находится другой узел контакта. Весь ток протекает при этом через перемычки, и они раскаляются докрасна. В пузырях ток имеет возможность растечься по многим связям, и они остаются относительно холодными. Множество, состоящее из красных связей, образует подмножество узлов остова, которое также является фрактальным [178]. Если увеличивается расстояние L между парой узлов на разных концах остова, то число красных связей растет по степенному закону:

Было показано, что соотношение между фрактальной размерностью множества красных связей и показателем который определяет особенность корреляционной длины при точно выполняется и в случае большего числа измерений [39, 40]. Почти вся масса остова сосредоточена в пузырях, так как фрактальная размерность множества красных связей намного меньше размерности остова. Поэтому фрактальная размерность множества узлов, принадлежащих пузырям, равна размерности остова. Кривые Мандельброта-Гивена (см. рис. 2.13 и 2.14) содержат много тонких (красных) связей. Фрактальная размерность множества таких связей равна что несколько меньше для перколяционного кластера.

При анализе явлений переноса в перколяционных кластерах возникает много разных оценок размерности. По сути дела, вновь обнаруживается мультифрактальное поведение. Недавний обзор этих проблем можно найти в [4].