13.3. Построение фрактальных поверхностей

Мы построили ряд моделей поверхностей, которые выглядят вполне как настоящие пейзажи, по крайней мере в той мере, которую позволяет простой графопостроитель, доступный большинству исследователей. Мы приобрели интересный опыт, который стоит освоить, прежде чем браться за более сложные изображения.

Как явствует из предыдущего раздела, наложение бесконечного числа случайно ориентированных нефрактальных поверхностей действительно может привести к фрактальной поверхности. На практике удобнее накладывать небольшое число фрактальных поверхностей переноса, ориентированных случайным образом. Если, вдобавок, производящие поверхности переноса случайны, то можно надеяться на получение удовлетворительного результата при вполне разумном объеме вычислений.

Глядя на любой пейзаж, мы охватываем взглядом лишь ограниченную область. Это обстоятельство определяет внешний пространственный масштаб Кроме того, присутствует и минимальный масштаб определяемый разрешением нашего глаза или фотопленки, а в нашем случае - выбранной численной точностью расчета координат х и у. Если для построения рельефа использовать синусоидальные поверхности переноса, то легко получить волнистую картину. Для каждой пространственной частоты мы имеем поверхность переноса вида

с амплитудой Далее, наименьшая существенная частота равна поскольку влияние меньших частот сводится к простому однородному сдвигу всей поверхности по высоте. Наибольшая существенная частота определяется разрешением поскольку детали меньшего размера разрешить не удастся.

Мы решили строить поверхности переноса, пользуясь суперпозицией осциллирующих функций. Прежде всего определим частотный спектр, задав пространственные частоты соотношением

Такой спектр дискретен и определяется показателем а и низшей частотой Чтобы ее влияние было заметно, основная частота должна превышать

Рис. 13.4. Амплитудный спектр для

Увеличивая мы будем получать изображения, на которых в поле зрения находится более обширное пространство. Параметр а в большой степени определяет общий характер или тип построенного пейзажа. Мы выбирали а из диапазона

Рис. 13.5. Действительная и мнимая части как функции координаты для

Рис. 13.6. Профиль функции

При малых значениях а получаются горные ландшафты, а при увеличении а возникают спокойные виды, напоминающие пейзажи южной Норвегии. Рекуррентный вид частотного спектра (13.3) был выбран потому, что он автомоделей.

Реальные пейзажи обычно характеризуются наибольшей амплитудой на низких частотах, и мы выбрали следующий автомодельный, или масштабно-инвариантный, вид амплитуд разложения Фурье:

Коэффициент пропорциональности в этом равенстве не существен, поскольку масштаб получившегося изображения будет меняться в соответствии с размерами требуемой картинки. Чтобы получающиеся пейзажи выглядели достоверно, параметр должен быть заключен в пределах от 1,05 до 1,4. Меньшие из этих значений хороши для горных пейзажей. При таком спектре амплитуд обычно получаются самоподобные кривые. На рис. 13.4 показан амплитудный спектр, в котором масштаб пространственных частот выбран так, что наибольшая из рассматриваемых частот равна 1.

Для получения высоты поверхности как функции координат мы использовали комплексное преобразование Фурье

При вычислении использовался обычный алгоритм быстрого преобразования Фурье. Получающийся профиль поверхности имеет действительную и мнимую части показанные на рис. 13.5. Нерегулярные флуктуации связаны с дискретностью частотного спектра, в котором присутствуют несоизмеримые частоты.

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

(кликните для просмотра скана)

По комплексному профилю строятся действительные поверхности переноса, определяемые соотношением

где угол у выбирается случайным образом из диапазона Полученная таким образом кривая показана на рис. 13.6.

Мы строим пейзаж, накладывая несколько таких случайно ориентированных слоев. Чтобы подчеркнуть структуру получающейся поверхности, мы добавляем до некоторого уровня воды и выбираем угол зрения с определенной высоты. Рис. 13.7 получен наложением 12 слоев с профилями со случайными фазами у и углами поворота Разрешение рис. 13.7 таково, что на нем по 1024 точек вдоль единичных расстояний по направлениям х и у. Однако показана только центральная область из точек в плоскости Чтобы получить этот рисунок, мы начертили 64 профиля вида с причем карандаш отрывался от бумаги, если точки заслонялись уже нанесенными контурами.

Разрешение этого рисунка явно слишком грубое, и в последующих случаях мы использовали сетку из точек в плоскости выбранных в центральной области -точечных -профилей. Удовлетворительный результат достигается при использовании 30 профилей, перпендикулярных лучу зрения, причем близкие участки кривых должны заслонять более удаленные. В области, занятой водой, наносились все 256 линий.

Чтобы получить приемлемое изображение пейзажа, необходимо добавить перспективу. При изображении пейзажей с береговыми линиями необходимо также смоделировать кривизну земной поверхности, иначе будет казаться, что пейзаж обрезан вблизи горизонта. Пример пейзажа из четырех слоев, включающего эти особенности, показан на рис. 13.8. Такой вид вполне можно встретить где-нибудь среди гранитных скал на юге Норвегии. Гладкость поверхностей достигается выбором довольно большого значения из-за чего расстояние между спектральными частотными компонентами быстро растет с увеличением пространственной частоты. Уменьшение а до 0,8 приводит к довольно изрезанным ландшафтам с фрактальными береговыми линиями, подобным изображенному на рис. 13.9.

Как мы уже упоминали в предыдущем разделе, наложение большого числа нефрактальных поверхностей переноса вполне может привести к явно фрактальной поверхности, но представленные нами до сих пор рисунки содержат лишь по четыре слоя (12 на рис. 13.7) и при профили выглядят довольно гладкими. Поэтому эти поверхности не фрактальны. Что же касается перехода к пределу бесконечного пространственного разрешения (т.е. включения бесконечно больших пространственных частот), то эта возможность подробно не исследовалась.

Береговые линии Вейерштрасса-Мандельброта.

Если изменить вид спектра используемых частот, заменив соотношение (13.3) равенством

при и выбрать показатель амплитудного спектра равным то функция перейдет в фрактальную функцию Вейерштрасса - Мандельброта, определенную равенством (2.14).

На рис. 13.10 показан фрактальный ландшафт, для построения которого основная пространственная частота выбрана равной Показатель амплитудного спектра выбирался равным Пейзаж довольно хаотичен и фрактальная размерность показанной береговой линии оказывается равной Эту величину следует сравнить с ожидаемой фрактальной размерностью кривых Вейерштрасса-Мандельброта, определяемой из равенства так что в нашем случае согласие вполне удовлетворительное при выбранном разрешении.