13.2. Поверхности случайного переноса

Простой способ построения более приемлемых поверхностей заключается в добавлении к вертикальной координате полученной после параллельного переноса фрактальной кривой, дополнительных слоев с подобными профилями, но повернутых относительно первой поверхности. Пусть гв(х,у)~профиль поверхности, образованной скольжением вдоль оси у фрактальной кривой размерности лежащей в

плоскости Повернем эту поверхность в плоскости на угол . В результате получим поверхность . И наконец, умножим вертикальную координату на множитель Таким образом, определена поверхность Используя поверхности такого профиля, можно построить фрактальные поверхности с возвышением определяемым как

Если сложить таким образом небольшое число слоев с фиксированным и случайными то получаются любопытные поверхности, которые - по крайней мере с разрешением наших расчетов - имеют фрактальную размерность, равную размерности производящей фрактальной поверхности, т.е. Вопрос, какова фрактальная размерность в общем случае, вероятно, крайне сложен.

Чтобы показать сложности, возникающие при нахождении фрактальной размерности таких поверхностей, рассмотрим одну из первых моделей Мандельброта [132]. В простейшей модели -ступенчатая функция, описывающая горизонтальное плато в плоскости рассеченное вдоль прямой с единичной разностью высот по разные стороны от разлома. Такая производящая поверхность не фрактальна и имеет размерность Для построения будем выбирать из однородного распределения от до и зададим для этапа построения (этим высота отдельного обрыва делается пренебрежимо малой по сравнению с общей суммой всех остальных уступов). В результате получается поверхность, показанная на рис. 13.2. Эта поверхность фрактальна, ее размерность равна несмотря на то что производящая поверхность не фрактальна.

Рис. 13.2. Первый пример фрактальных броуновских островов. .

Рис. 13.3. Первый пример фрактальных броуновских береговых линий.

Такие поверхности, состоящие из бесконечного числа слоев, Мандельброт называет броуновскими поверхностями, потому что любое вертикальное сечение такой поверхности имеет вид кривой, характерной для броуновского движения. Эта поверхность в среднем удовлетворяет соотношению подобия

для любого А, и имеет коразмерность

Это соотношение подобия показывает, что фрактальная поверхность самоаффинна, а не самоподобна. Она представляет собой обобщение самоаффинных фракталов, обсуждавшихся в гл. 10, на большее число измерений. Напомним, что для самоаффинных поверхностей, так же как и для самоаффинных кривых, следует различать локальную и глобальную фрактальные размерности. Адекватные методы анализа конкретных фрактальных поверхностей до сих пор не ясны. Недавние обсуждения этой проблемы можно найти в [136, 213, 214].

Если полученный пейзаж заполнить до некоторого уровня «водой», то появляются береговые линии и острова, подобные показанным на рис. 13.3. Фрактальная размерность береговых линий, полученных пересечением поверхности с плоскостью, равна и заметно превышает значение 1,3, наблюдаемое для многих береговых линий.

Как отметил Мандельброт [132], острова характеризуются распределением Корчака

где число островов, площадь которых А превышает данное число а. Это соотношение называют также соотношением числа объектов и площади. Показатель степени в этом соотношении В равен Согласно Мандельброту, значение, наблюдаемое на поверхности Земли, примерно равно и меняется от 0,5 в Африке (один обширный остров, окруженный островами быстро уменьшающегося размера) до 0,75 в Индонезии и Северной Америке (преобладание самых больших островов выражено слабее).