9.6. Моделирование обобщенного броуновского движения

Как видим, дискретный аналог определяемый соотношением (9.18), пришлось изменить, выбрав подходящее ядро, чтобы сделать ряд сходящимся. Однако при любом вычислении придется использовать конечное число членов, тогда суммы будут иметь смысл только на конечном интервале целочисленных значений времени Для приближенного расчета интеграла разобьем каждый шаг по целочисленному времени на интервалов и получим следующее приближенное выражение [144-146]:

Рис. 9.4. (см. скан) Фрактальный шум, или приращения фрактальной броуновской функции рассчитанной при -обычные броуновские приращения при - фрактальные приращения при ; в — фрактальные приращения при

Здесь есть набор гауссовых случайных чисел с единичной дисперсией и нулевым средним. Ядро К определяется выражением (9.20). Изменив индекс суммирования и перегруппировав члены в сумме, мы получим следующее выражение для дискретных приращений при обобщенном броуновском движении:

Пользуясь соотношением (9.25), по последовательности гауссовых случайных чисел можно составить последовательность приращений Заметим, что это приближение эквивалентно вычислению скользящего среднего, со степенной весовой функцией, от гауссова процесса. Поскольку в сумму включены лишь целочисленных временных шагов, при приращения станут независимыми и в этом приближении превратится в гауссов процесс с независимыми приращениями. Ясно, что алгоритм, который определяется выражением (9.25), неэкономичен, поскольку для вычисления каждого значения приращения приходится вычислять сумму членов. Мандельброт [128] предложил быстрый алгоритм моделирования обобщенного гауссова шума, основанный на вычислении с весами суммы ряда марковских гауссовых переменных с увеличивающимися корреляционными временами и прибавлении высокочастотной компоненты, имеющей марковские гауссовы свойства. Но для наших целей лучше подходит описанный выше алгоритм, и мы удовлетворимся моделированием на умеренных интервалах времени

Увеличение необходимо для более точного описания поведения на малых интервалах времени (которое здесь не очень существенно) и для иллюстративных целей мы положили

Мы рассчитали по гауссову процессу с 27 500 независимыми шагами, из которых первые 2500 шагов показаны на рис. 9.1. На рис. 9.4 мы приводим фрактальный шум, т. е. приращения определяемые как разность Для обычных броуновских приращений и получаемый шум является гауссовым процессом с независимыми значениями, который обычно называют белым шумом. Фрактальные шумы, показанные на рис. 9.4, соответствуют При увеличении не происходит существенной перестройки процесса. Однако более внимательный анализ показывает, что по мере

увеличения усиливается низкочастотный шум, который приводит к большим отклонениям амплитуды (по сравнению с высокочастотными компонентами).

На рис. 9.5 показано изменение с фрактальной броуновской функции при Эта функция описывает положение частицы, которая начинает движение из начала координат и движется вдоль оси с шагами, показанными на рис. 9.4. С увеличением величины увеличивается амплитуда вариаций координаты положения частицы и в такой же степени уменьшается шум.

При фрактальном движении с отклонения от начала координат

Рис. 9.5. Фрактальная броуновская функция рассчитанная при при условии -обычная броуновская функция при фрактальная броуновская функция при ; в - фрактальная броуновская функция при

по сравнению со случаем броуновского движения аномально велики. Действительно, при фрактальном броуновском движении дисперсия координаты определяется соотношением (9.15), и, используя соотношение Эйнштейна в виде (9.11), мы можем определить коэффициент аномальной фрактальной диффузии выражением

Такая аномальная диффузия играет важную роль в анализе процессов фрактального переноса. Она возникает во многих случаях, как, например, при рассмотрении электрической проводимости случайных сред. Следует подчеркнуть, что аномальный характер диффузии, описываемой соотношением (9.26), связан с фрактальными свойствами блужданий в евклидовом пространстве. Если блуждание происходит на фрактальном множестве, погруженном в евклидово пространство, то коэффициент диффузии остается аномальным, но характеризуется другим показателем степенной зависимости от времени (см., например, [2, 71, 202]).

Как следует из соотношения (9.15), нормированная дисперсия приращений зависит от времени запаздывания как

Величину можно оценить из зависимостей, показанных на рис. 9.5. Получающиеся функции при разных значениях очень хорошо аппроксимируются ожидаемым законом (9.27). Однако в результате использования конечной величины и конечной длительности исходного броуновского движения с независимыми приращениями значения полученные при численном моделировании, оказываются меньше ожидаемых теоретических значений при запаздывании порядка (рис. 9.6).

Рис. 9.6. Дисперсия приращений фрактальной броуновской функции рассчитанной при при условии Сплошными линиями показаны зависимости при и 0,9.

Таким образом, при наш приближенный дискретный фрактальный шум начинает переходить в белый шум. Увеличивая можно неограниченно увеличить область, в которой модель шума остается фрактальной. Однако, если нужно получить фрактальный шум на очень больших интервалах времени, следует пользоваться более экономичными алгоритмами.