6.9. Свертывание с несколькими масштабами длины

Рассмотрим обобщение биномиальной мультипликативной меры на случай, когда ее носителем является канторовское множество, изображенное на рис. 6.7. В каждом поколении каждый из уцелевших отрезков подразделяется на две части: меньшую с относительной длиной и большую с относительной длиной а средняя часть вырезается. Меньшую часть мы сопоставляем с долей меры, сосредоточенной на предшествующем («материнском») отрезке, а большую часть - только с долей той же меры.

Если мы попытаемся применить к канторовскому стержню (рис. 6.7) определение (6.32), то сразу же убедимся в том, что это определение неадекватно, так как все ячейки, используемые для покрытия множества, имеют одну и ту же величину 5. Холси и др. [81] воспользовались мерой, которая является комбинацией двух обобщений (5.4) и (6.32). Пусть, как в определении (5.4), фрактальное множество У может быть разбито на некоторое число непересекающихся частей покрывающих все множество. Обозначим через евклидову длину части. Тогда подмножество умещается в (гипер) кубе с ребром но при всех и мера определяется соотношением

Эта мера также имеет показатель массы при котором мера при не обращается ни в нуль, ни в бесконечность.

Проиллюстрируем применение меры на примере двухмасштабного канторовского множества с мерой, порожденной мультипликативным процессом (см. рис. 6.7 и работу Холси и др. [81]). Так как в поколении канторовского стержня на рис. 6.7 мы имеем отрезков длиной и вес мера легко вычисляется и определяется выражением

Эта мера остается конечной с при в том и только в том случае, если мы выберем где решение уравнения

Уравнение (6.51) было решено нами относительно численно. Но коль скоро показатель массы известен, кривую , изображенную на рис. 6.8, мы находим, как прежде (с помощью второго из соотношений (6.48)).

При показатель массы равен ; то же значение мы получили для фрактальной размерности множества, пользуясь определением (5.4) меры множества. В пределе при мы получаем

(кликните для просмотра скана)

Рис. 6.8. Кривая для двух-масштабной фрактальной меры на канторовском стержне У с и массами Кривая описывает фрактальную размерность подмножеств с показателем Липшица - Гёльдера а как функцию а.

Следовательно, в левой части уравнения (6.51) главным является первый член, и определяется просто уравнением

Решая его, получаем

Аналогично при главным становится член, содержащий и

Холси и др. [81] проанализировали меру, задаваемую соотношением (6.49), связав ее с размерностью введенной Грассбергером [74], Хентшелем и Прокаччей [87] и Грассбергером и Прокаччей [75] и определяемой соотношением

где численный множитель модифицирует показатель массы с таким расчетом, чтобы для множеств постоянной плотности в -мерном пространстве выполнялось равенство Спектр фрактальных размерностей задается предельным соотношением

Порядком момента может быть любое число в диапазоне от до и функция есть спектр фрактальных размерностей для фрактальной меры на множестве У. Если мы выберем значение для порядка момента то получим Следовательно, есть просто число клеток, необходимое для того, чтобы покрыть множество, и величина равна фрактальной размерности множества. В пределе при мы получаем, что , в то время как

Из-за сингулярности входящей в определение размерности при вычислении в пределе необходимо соблюдать некоторую осторожность. Замечая, что и

используя то, что при получаем

Мы воспользовались здесь тем, что Таким образом, показано, что определяется выражением

Эта размерность описывает скейлинговое поведение энтропии разбиения меры на множестве У. Энтропия вводимая в статистической физике для вероятностей распределенных по ячейкам величины 8, определяется соотношением

Исходя из соотношений, выведенных в предыдущем разделе, мы заключаем, что при

Чтобы получить какое-то представление о спектре размерностей, рассмотрим обычный евклидов случай. Для равномерно распределенной меры в -мерном пространстве с постоянной плотностью точек разделим пространство на ячеек объемом Тогда и

Подставляя это соотношение в определение (6.55), мы заключаем, что спектр фрактальных размерностей для равномерно распределенной меры в пространстве равна евклидовой размерности:

Таким образом, мы утверждаем, что спектр фрактальных размерностей сводится к одному значению для равномерно распределенной меры и не зависит от порядка момента т.е. не имеет структуры.

Рис. 6.9. Спектр фрактальных размерностей как фунция порядка момента для триадной канторовской пыли с и массами

Этот результат объясняет также использование множителя определении величин Попутно заметим, что энтропия определяется выражением , поэтому энтропийная размерность в этом случае действительно равна

На рис. 6.9 показан спектр фрактальных размерностей как функция порядка момента для канторовского стержня, изображенного на рис. 6.7.