2.4. Триадная кривая Кох

На рис. 2.8 показано, как построить триадную кривую Кох. Триадная кривая Кох - один из стандартных примеров, приводимых в подтверждение того, что кривая может иметь фрактальную размерность

Построение кривой Кох начинается с прямолинейного отрезка единичной длины Этот исходный отрезок называется затравкой и может быть заменен каким-нибудь многоугольником, например равносторонним треугольником, квадратом. Затравка - это 0-е поколение кривой Кох. Построение кривой Кох продолжается: каждое звено затравки мы заменяем образующим элементом, обозначенным на рис. 2.8 через . В результате такой замены мы получаем 1-е

(кликните для просмотра скана)

поколение - кривую из четырех прямолинейных звеньев, каждое длиной по 1/3. Длина всей кривой 1-го поколения составляет величину Следующее поколение получается при замене каждого прямолинейного звена уменьшенным образующим элементом. В результате мы получаем кривую 2-го поколения, состоящую из звеньев, каждое длиной Длина кривой 2-го поколения равна Заменяя все звенья предыдущего поколения кривой уменьшенным образующим элементом, получаем новое поколение кривой. Кривая поколения при любом конечном называется предфракталом.

В виде исключения проследим во всех подробностях за тем, как получается выражение для Длина предфрактала поколения определяется формулой

Длина каждого звена составляет

Замечая, что число поколений представимо в виде

запишем длину предфрактала в виде

Формула (2.5) имеет вид приближенной формулы (2.1), в которой

Число сегментов равно и может быть записано в виде

Как будет показано дальше, фрактальная размерность триадной кривой Кох. Прежде всего заметим, что построение Коха позволяет в любом поколении получать нормальную кривую конечной длины. Мандельброт называет такие кривые предфракталами. Но при увеличении числа поколений величина 5 стремится к нулю и длина кривой расходится. Ясно, что множество точек, которое получает как предел бесконечно большого числа итераций процедуры Кох, не является кривой, для которой длина является удобной мерой. Но если мы выберем пробную функцию то получим -меру

Мы видим, что мера остается конечной и равна единице только в том случае, если размерность входящая в пробную функцию равна Мы заключаем, что критическая размерность и, следовательно, размерность Хаусдорфа-Безиковича для триадной кривой Кох равна

На каждой стадии построения предфракталы Кох могут быть растянуты в прямую линию, поэтому топологическая размерность триадной кривой Кох равна Так как размерность Хаусдорфа-Безиковича для кривой Кох больше ее топологической размерности мы заключаем, что кривая Кох есть фрактальное множество с фрактальной размерностью