7.6. Корреляционная длина

Как вблизи порога перколяции так и при вероятности, сильно отличающейся от перколяционные кластеры характеризуются числом узлов и гирорадиусом На каких расстояниях сохраняется связность открытых пор Длина связности определяется как квадратный корень из среднего квадрата расстояния между занятыми узлами, принадлежащими одному и тому же конечному кластеру. Длина связности называется также корреляционной длиной. Таким образом определенная корреляционная длина равна квадратному корню из значения усредненного по распределению размеров кластера.

Чтобы вычислить рассмотрим отдельный узел кластера, состоящего из узлов. Рассматриваемый узел связан с узлами, и среднеквадратичное расстояние до этих узлов равно Вероятность того, что некоторый узел принадлежит к кластеру размера равна Следовательно, длина связности равна

Чтобы упростить это выражение, мы заменили число узлов, с которыми связан данный узел, с на . Распределение размеров кластера здесь рассматривается как функция и равно среднему числу кластеров конечного размера в расчете на один узел.

Как следует из соотношения (7.21), при гирорадиус беспредельно увеличивается с увеличением размеров системы, поэтому при При значениях близких к парная длина связности имеет степенную особенность

При двумерном протекании . С помощью перенормировки треугольной решетки, обсуждавшейся в разд. 7.3, можно понять происхождение этого степенного закона и получить очень хорошее приближенное выражение для показателя Если треугольная решетка с концентрацией укрупняется на множитель то концентрация на полученной решетке определяется равенством (7.7). Новая корреляционная длина

равна

Вблизи особой точки перенормировочное преобразование (7.7) линейно по (см. рис. 7.8.). Раскладывая соотношение (7.7) по вблизи получаем следующее выражение для

где Подставляя это выражение в (7.24), мы видим, что однородная функция

Как и раньше, этому соотношению удовлетворяют только степенные функции (7.23), и, подставляя сюда (7.23), мы получаем

Из этого уравнения находим показатель определяющий вид особенности корреляционной длины вблизи

что прекрасно согласуется с точным значением для двумерного случая [49]. Этот вывод представляет собой простой пример общего метода вычисления критических показателей с помощью перенормировочного преобразования. Заметим, что использованное масштабное преобразование приближенно, поскольку при таком преобразовании связность кластеров может изменяться. Более подробное обсуждение см. в работе [3].

С помощью соображений подобия найти вид распределения размеров кластера Рассмотрим кластеры, гирорадиусы которых удовлетворяют неравенству Поскольку гирорадиус удовлетворяет соотношению число узлов таких кластеров подчиняется неравенству масштабах, меньших свойства кластера ничем не отличаются от критических параметров, характерных для откуда следует, что на этих масштабах распределение размеров определяется выражением (7.19), но с заменой размера области на Итак, мы получили

При функция перехода быстро уменьшается, а при изменяется как т.е. так же, как и функция перехода в (7.19). Пользуясь этим распределением размеров, можно показать, что средний размер кластера равен

Вывод этого соотношения аналогичен выводу (7.20).

При вероятность (в расчете на один узел) того, что данный узел принадлежит бесконечному перколяционному кластеру, равна Любой узел занят с вероятностью и принадлежит одному из конечных кластеров с вероятностью Занятые узлы, не входящие ни в один конечный кластер, должны принадлежать бесконечному кластеру. Это утверждение можно записать в виде

Используя автомодельный вид распределения размеров кластера, мы приходим к следующему автомодельному выражению для вероятности протекания:

Из этого равенства находим выражение для показателя в вероятности протекания:

Число узлов в самом большом кластере, зависит от того, насколько он близок к Для областей размером этот кластер наибольшего размера простирается по всей решетке и Однако при ситуация меняется: размеры конечных кластеров не превышают и функция должна переходить в где средняя плотность равна Этот переход описывается однородной функцией такой, что

Численное моделирование очень четко обнаруживает этот переход (рис. 7.12).

Как мы показали в этом разделе, длина связности, или корреляционная длина расходится при критическом значении концентрации. Эта особенность имеет степенной вид с показателем, который довольно точно оценивается с помощью перенормировки. С практической точки зрения разнообразные переходные функции и степенные зависимости вблизи критического значения концентрации удобно выражать через Мы также показали, что показатели, характеризующие различные зависимости вблизи порога протекания, связаны соотношениями подобия, которые выражают их через фрактальную размерность перколяционного кластера, размерность пространства и показатель характеризующий корреляционную длину.

Рис. 7.12. Плотность узлов кластера максимального размера в области размером окружающей занятый узел. Черные кружки: светлые кружки: При наклон графика равен при а высота плато при равна