2.3. Фрактальная размерность

Мандельброт [134] предложил следующее пробное определение фрактала:

Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича которого строго больше его топологической размерности

Это определение в свою очередь требует определений терминов множество, размерность Хаусдорфа-Безиковича и топологическая размерность которая всегда равна целому числу. Для наших целей мы предпочитаем весьма нестрогие определения этих терминов и наглядные иллюстрации (с использованием простых примеров), а не более строгое, но формальное изложение тех же понятий. Мандельброт [137] сузил свое предварительное определение, предложив заменить его следующим

Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому.

Строгого и полного определения фракталов пока не существует [138]. Дело в том, что первое определение при всей правильности и точности слишком ограничительно. Оно исключает многие фракталы, встречающиеся в физике. Второе определение содержит существенный отличительный признак, подчеркиваемый в нашей книге и наблюдаемый в эксперименте: фрактал выглядит одинаково, в каком бы масштабе его ни наблюдать. Взять хотя бы некоторые прекрасные кучевые облака. Они состоят из огромных «горбов», на которых возвышаются «горбы» поменьше, на тех - «горбы» еще меньше и т.д. вплоть до самого малого масштаба, который вы в состоянии разрешить. На самом деле, располагая только внешним видом облаков и не используя никакой дополнительной информации, размер облаков оценить невозможно.

Фракталы, о которых пойдет речь в этой книге, можно рассматривать как множества точек, вложенные в пространство. Например, множество точек, образующих линию в обычном евклидовом пространстве, имеет топологическую размерность и размерность Хаусдорфа - Безиковича Евклидова размерность пространства равна Так как для линии линия, согласно определению Мандельброта, не фрактальна, что подтверждает разумность определения. Аналогично множество точек, образующих поверхность в пространстве с имеет топологическую размерность Мы видим, что и обычная поверхность не фрактальна независимо от того, насколько она сложна. Наконец, шар, или полная сфера, имеет Эти примеры позволяют определить некоторые из рассматриваемых нами типов множеств.

Центральное место в определении размерности Хаусдорфа - Безиковича и, следовательно, фрактальной размерности занимает понятие расстояния между точками в пространстве. Как измерить «величину»

множества У точек в пространстве? Простой способ измерить длину кривых, площадь поверхностей или объем тела состоит в том, чтобы разделить пространство на небольшие кубы с ребром 8, как показано на рис. 2.5. Вместо кубов можно было бы взять небольшие сферы диаметром 8. Если поместить центр малой сферы в какой-нибудь точке множества, то все точки, находящиеся от центра на расстоянии окажутся покрытыми этой сферой. Подсчитывая число сфер, необходимых для покрытия интересующего нас множества точек, мы получаем меру величины множества. Кривую можно измерить, определяя число прямолинейных отрезков длины 8, необходимых для того, чтобы покрыть ее. Разумеется, для обычной кривой Длина кривой определяется предельным переходом

В пределе при мера становится асимптотически равной длине кривой и не зависит от 8.

Множеству точек можно поставить в соответствие и площадь. Например, площадь кривой можно определить, указывая число кругов или квадратов, необходимых для ее покрытия. Если -число этих квадратов, а -площадь каждого из них, то площадь кривой равна

Аналогично объем V кривой можно определить как величину

Рис. 2.5. Измерение «величины» кривой.

Разумеется, что для обычных кривых обращаются в нуль при , и единственной представляющий интерес мерой является длина кривой.

Рассмотрим далее множество точек, образующих поверхность (рис. 2.6). Нормальной мерой такого множества служит площадь А, и мы имеем

Как нетрудно видеть, для обычной поверхности число квадратов, необходимых для ее покрытия, определяется в пределе при выражением где площадь поверхности.

Поверхности можно поставить в соответствие объем, образуя сумму объемов кубов, необходимых для покрытия поверхности:

При этот объем, как и следует ожидать, обращается в нуль.

Можно ли поверхности поставить в соответствие какую-нибудь длину? Формально мы можем принять за такую длину величину

которая расходится при Этот результат имеет смысл, так как поверхность невозможно покрыть конечным числом прямолинейных отрезков. Мы заключаем, что единственной содержательной мерой множества точек, образующих поверхность в трехмерном пространстве, является площадь.

Нетрудно видеть, что множества точек, образующих кривые, могут

Рис. 2.6. Измерение «величины» поверхности.

быть закрученными так сильно, что длина их окажется бесконечной, и, действительно, существуют кривые (кривые Пеано), заполняющие плоскость. Существуют также поверхности, изогнутые столь причудливым образом, что они заполняют пространство. Для того чтобы мы могли рассматривать и такие необычные множества точек, полезно обобщить введенные нами меры величины множества.

До сих пор, определяя меру величины множества точек У в пространстве, мы выбирали некоторую пробную функцию отрезок прямой, квадрат, круг, шар или куб - и покрывали множество, образуя меру Для прямолинейных отрезков, квадратов и кубов геометрический коэффициент для кругов и для сфер Мы заключаем, что в общем случае при мера равна нулю или бесконечности в зависимости от выбора -размерности меры. Размерность Хаусдорфа-Безиковича множества есть критическая размерность, при которой мера изменяет свое значение с нуля на бесконечность:

Мы называем -мерой множества. Значение при часто конечно, но может быть равно нулю или бесконечности; существенно, при каком именно значении величина изменяется скачком. Заметим, что в приведенном выше определении размерность Хаусдорфа-Безиковича фигурирует как локальное свойство в том смысле, что эта размерность характеризует свойства множеств точек в пределе при исчезающе малом диаметре, или размере, 8 пробной функции, используемой для покрытия множества. Следовательно, фрактальная размерность может также быть локальной характеристикой множества. В действительности здесь существует несколько тонких пунктов, заслуживающих рассмотрения. В частности, определение размерности Хаусдорфа-Безиковича позволяет покрывать множество «шарамтк не обязательно одного и того же размера при условии, что диаметры воех шаров меньше 8. В этом случае -мера есть нижняя грань, т. е., грубо говоря, минимальное значение, получаемое при всех возможных покрытиях. Примеры см. в разд. 5.2. Строгое математическое изложение вопроса интересующиеся найдут в книге Фальконера [58].

Знакомыми являются случаи для линий, для плоскостей и искривленных гладких поверхностей и для шаров и других тел конечного объема. Как будет показано на многочисленных примерах, существуют множества, для которых размерность Хаусдорфа-Безиковича не является целой и называется фрактальной.

Определение (2.3) фрактальной размерности может быть использовано на практике. Обратимся снова к береговой линии, изображенной на рис. 2.1. Мы покрыли береговую линию множеством квадратов со стороной 8, приняв за единицу длины протяженность обреза карты. Подсчитав число квадратов, необходимых для покрытия береговой линии, мы получили число

Рис. 2.7. Число ячеек размером необходимых для покрытия береговой линии, изображенной на рис. 2.1 как функция шага Прямая в дважды логарифмических координатах соответствует зависимости и построена по результатам измерений. Фрактальная размерность

Далее мы можем поступить так, как подсказывает нам формула (2.3), и вычислить или продолжить подсчет и найти при меньших значениях 8. Так как из формулы (2.3) следует, что асимптотически, в пределе при малых

мы можем определить фрактальную размерность береговой линии, измерив угловой коэффициент (наклон) графика как функции от Для береговой линии, изображенной на рис. 2.1, такой график построен на рис. 2.7. Как показывают вычисления, Размерность определяемую по формуле (2.4) путем подсчета числа клеток, или ячеек, необходимых для покрытия множества в зависимости от размера клетки, принято называть размерностью, определяемой по подсчету клеток, или клеточной размерностью.