13.4. Поверхности случайного сложения

В разд. 9.8 мы обсудили алгоритм последовательных случайных сложений, предложенный Фоссом [214] и использованный при моделировании обобщенного броуновского движения. Как показал Фосс, этот алгоритм нетрудно обобщить на большее число измерений. На рис. 13.11 показаны ландшафты, построенные с помощью этого алгоритма. Вначале мы зафиксировали высоту в четырех углах сетки из элементов. В программе используется подпрограмма, генерирующая независимые гауссовы случайные числа с нулевым средним и единичной дисперсией. На первом этапе мы просто получаем одно значение и используем его как уровень поверхности в центре сетки (в точке 513, 513). На втором этапе мы сначала проводим интерполяцию и находим возвышения в четырех точках с координатами измеренными в таких единицах, что сторона области, покрытой сеткой, равна 1. Например, возвышение в точке равно т.е. результат интерполяции - это просто среднее арифметическое возвышений в ближайших по диагоналям точках. Возвышения в двух ближайших точках на границе принимались равными среднему арифметическому от возвышений в ближайших углах области. На этом этапе процесса мы задавали интерполированные возвышения в 13 точках - в пяти исходных положениях, четырех новых внутренних точках и четырех новых точках на границе. Следующим шагом 13 независимых значений прибавлялись к уже имеющимся возвышениям.

(кликните для просмотра скана)

При этом гауссовы случайные числа имеют дисперсию

Это то же соотношение, которое использовалось в разд. 9.8, но масштабный коэффициент равен что отражает изменение в расстояниях между старыми и новыми точками. Применение этой процедуры продолжается, и в следующем цикле добавляются точки . Возвышения в этих точках определяются как среднее арифметическое возвышений в ближайших к ним узлах, т. е. в узлах, которые лежат в направлениях, параллельных осям. В точках, лежащих на границе, возвышения вновь определяются специальным образом. После каждого цикла этот алгоритм удваивает число точек, в которых задано возвышение, и уменьшает на множитель - расстояние между такими точками. Пейзажи, показанные на рис. 13.11, были получены после 13 циклов применения этого алгоритма. При построении этих ландшафтов использовались одни и те же случайные числа, и эти три изображения отличаются только выбранным значением показателя Херста.

Точки, лежащие на границе, преобразуются по-другому, чем внутренние. Это граничное условие приводит к тому, что ландшафты фрактальны только в масштабах, малых по сравнению с размером области, и их фрактальная размерность равна

Если все точки преобразуются одинаковым образом, то эта процедура приводит к самоаффинным поверхностям. Направления вдоль осей неравноправны с вертикальным направлением вдоль оси и мы должны различать локальную и глобальную фрактальные размерности (см. гл. 10).

Рис. 13.12. Береговая линия пейзажа с показанного на рис. 13.11. Эта линия самоподобна, ее фрактальная размерность равна .

(кликните для просмотра скана)

Горизонтальное сечение этой самоаффинной поверхности дает береговые линии, подобные показанным на рис. 13.12. Эти линии являются самоподобными фракталами, размерность которых равна где -показатель, примененный для построения этих ландшафтов.

Фрактальные пейзажи довольно сложны, их восприятие и интерпретация во многом зависят от возможностей графического представления. Для примера на рис. 13.13 мы еще раз изобразили пейзаж с с видом сверху, а также в виде облака. Рассмотрим, как могут выглядеть облака, протяженные по горизонтали, при наблюдении снизу.

Образование водяных капель - процесс пороговый, и они образуются, только когда водяной пар перенасыщен выше определенного уровня. Если возвышение ландшафта можно сопоставить с величиной, определяющей образование капель (некоторой комбинации таких параметров, как температура и влажность), то образования капель можно ожидать только там, где возвышение превышает определенный уровень. Изображения облаков на рис. 13.13 получены следующим образом. Области ландшафта с возвышениями вплоть до некоторого определенного уровня закрашивались черным. Начиная с этого уровня использовалась шкала оттенков серого цвета (от черного до белого), пропорциональная логарифму возвышения. Мы находим, что получившиеся изображения хорошо отражают вид и структуру облаков. Цветные варианты подобных изображений представлены на цветных вкладках. Однако такие облака нельзя совместить с изображением ландшафта, так как они двумерны. Фосс [214] построил трехмерные облака, которые отбрасывают тени и которые могут использоваться для построения реалистических сцен.

Внимательное рассмотрение пейзажей, представленных на рис. 13.11, показывает, что использованный алгоритм создает довольно резкие неровности. Эта особенность применявшегося алгоритма сглаживается только после очень большого числа циклов. На цветных вкладках мы приводим также пейзажи, построенные так, что после каждого цикла пространственный масштаб уменьшается множителем Начав с возвышений в четырех углах области, мы интерполируем их в четыре точки с координатами Как и раньше, к этим возвышениям прибавляются случайные числа, проводится новая интерполяция и т.д. Этот алгоритм использовался Фоссом [214] и рассматривался также Миллером [161]. Пейзажи, построенные с помощью такого модифицированного алгоритма, имеют другую степень заполненности (лакунарность) и выглядят вполне удовлетворительно. По мере уменьшения степень заполненности ландшафта увеличивается и заметно меньшее число масштабов флуктуаций.