8.2. Моделирование случайных рядов

Будучи человеком, несомненно приверженным эксперименту (и склонным к скептицизму), Херст решил проверить соотношение (8.6) с помощью «метода Монте-Карло». Он смоделировал случайный процесс с независимыми значениями бросанием монет раз и в качестве случайной переменной выбрал (число «орлов») - (число «решек»). Вероятность того, что при бросании монет выпадет к «орлов», равна Если этот набор монет бросают раз, то к и, следовательно, определяются биномиальным распределением, которое при больших приближается к нормальному, гауссову распределению. Прямым вычислением можно показать [96], что для этого процесса

Поскольку стандартное отклонение разности числа «орлов» и числа «решек» равно удвоенному стандартному отклонению к и равно в пределе больших мы получаем соотношение (8.6).

Херст провел эксперимент, бросив 10 монет 1000 раз - на бросание 10 монет 100 раз у него ушло около 35 мин! Мы моделировали этот процесс на компьютере, используя генератор (псевдо) случайных чисел, который выбирает — 1 или с равной вероятностью. Будем считать, что «орлы» соответствуют единицам со знаком «плюс». По таким выборкам мы вычисляли значение как сумму полученных чисел. «Бросание монет» повторялось 2500 раз и заняло меньше секунды. Получившаяся последовательность значений случайных независимых величин отложена на рис. 8.5. Последовательность выглядит как шум. Чтобы получить реалистический график, мы соединили линиями точки для Накопленное отклонение от среднего, также показано на рис. 8.5. Здесь мы также соединили линиями отдельные точки представляющие собой запись набора значений, принимаемых случайной переменной. Заметим, что значение совпадает с положением в момент частицы, которая

(кликните для просмотра скана)

случайно блуждает вдоль линии с шагами единичной длины. Этот случайный процесс является упрощенным вариантом случайного блуждания, которое имеет гауссово распределение длин шагов и обсуждается в следующей главе. Можно показать, что на периодах, намного превышающих время между шагами, и на расстояниях, намного превышающих длину шага, рассматриваемое случайное блуждание с единичным шагом асимптотически переходит в обычное броуновское движение.

Мы рассчитали значения R/S для данных, подобных показанным на рис. 8.5, начав с последовательности из бросаний 10 монет. Промежуток времени на котором анализировалась временная последовательность, называется запаздыванием. Мы уменьшили запаздывание вдвое и получили из исходного временного ряда два независимых значения характеризующих по отдельности половинные выборки. Затем уменьшалось вдвое еще и еще раз до тех пор, пока не выполнялось условие на каждом шаге число независимых областей удваивалось. Как следует из определений (8.3) и (8.4), при должно быть равно 1.

Результаты, соответствующие одному и тому же значению запаздывания усреднялись и значения R/S откладывались в двойном логарифмическом масштабе как функция запаздывания (рис. 8.6).

Асимптотика отношения ожидаемая для независимой случайной переменной и описываемая соотношением (8.6), показана на рис. 8.6 штриховой линией. Как видим, результаты нашего моделирования хорошо описываются асимптотическим законом при но при кривая проходит значительно ниже асимптотики. Если с помощью метода наименьших квадратов аппроксимировать наблюдаемые значения R/S законом при получаем оценки которые согласуются с асимптотической зависимостью Указанные ошибки представляют собой стандартные отклонения, найденные из ковариационной матрицы, которая получена при аппроксимации. Таким образом, эти ошибки характеризуют, насколько хорошо наблюдаемые значения укладываются на штриховую прямую. Обычно изменения от одной серии бросаний монеты к другой несколько превышают приведенные ошибки. Например, если в аппроксимацию включить все точки с получаются оценки дающие завышенное значение и заниженное значение а. Уже отмечалось [143], что при аппроксимации данных эмпирическим законом Херст обычно получал завышенные оценки при и заниженные при Было бы несправедливо не отметить, что Херст полностью понимал эту тонкость и использовал этот простой закон только потому, что у него было недостаточно данных, чтобы рассмотреть более сложную аппроксимацию, подобную нашей; в связи со своим экспериментом с бросанием монет он пишет: «Короткие последовательности, характеризуемые небольшими значениями К, неотличимы от случайных последовательностей».