Глава 2. Фрактальная размерность

2.1. Береговая линия Норвегии

Сколь велика длина береговой линии Норвегии? Взгляните на рис. 2.1. В масштабе карты хорошо видны глубокие фиорды на западном побережье. Более мелкие детали очертаний побережья к северо-востоку от южной оконечности различимы хуже, но смею уверить вас в том, что на картах, которыми я пользуюсь, плавая на яхте в тех краях, береговая линия выглядит так же, как западное побережье на рис. 2.1. Идя под парусом, вы то и дело встречаете скалы, острова, бухты, обрывы и узкости, которые похожи друг на друга, даже если они не обозначены на моих подробных картах. Прежде чем ответить на вопрос, с которого начинается эта глава, необходимо решить, стоит ли включать в береговую линию острова. Как быть с реками? В каком месте фиорд перестает быть фиордом и где именно он переходит в реку? Ответить на этот вопрос иногда легко, иногда не очень. Но даже если мы сумеем удовлетворительно ответить на все вопросы такого рода, одна трудность все же остается. Дело в том, что я мог бы придать циркулю раствор, соответствующий 8 км, и сосчитать число шагов которые понадобились бы мне, чтобы пройти по карте из конца в конец все побережье. В спешке я мог бы выбрать раствор циркуля настолько большим, что мне не понадобилось бы заботиться даже о самых глубоких фиордах, и принять за длину береговой линии величину Если бы мне возразили, что такая оценка неточна, то я выбрал бы несколько меньший раствор циркуля 5 и повторил все сначала. На этот раз в длину береговой линии вошли бы и наиболее глубокие фиорды, но юго-восточное побережье по-прежнему было бы пройдено за несколько шагов. Для еще более точного подсчета длины береговой линии мне понадобились бы такие карты, которыми пользуются соседи при решении вопросов о том, где должен проходить забор между земельными участками, или о том, как далеко по реке простираются границы рыбной ловли. Ясно, что при решении такого рода вопросов уточнения можно вносить бесконечно. Всякий раз, когда мы будем увеличивать разрешающую способность, длина береговой линии будет разрастаться. Кроме того, при использовании циркуля у нас будут возникать проблемы с островами и реками. Альтернативный способ измерения длины береговой линии состоит в том, чтобы покрыть карту сеткой, как показано в верхней части рис. 2.1. Пусть квадратные ячейки сетки имеют размеры

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.2. Измеренная длина береговой линии, изображенной на рис. 2.1, как функция шага -длины стороны квадратных ячеек, образующих покрытие береговой линии на карте. Прямая на графике в дважды логарифмическом масштабе соответствует зависимости где

Число таких ячеек, необходимых, чтобы покрыть береговую линию на карте, приближенно равно числу шагов, за которое можно обойти по карте береговую линию циркулем с раствором 8. Уменьшение 8 приводит к увеличению числа ячеек, необходимых для покрытия береговой линии. Если бы береговая линия Норвегии имела вполне определенную длину то можно было бы ожидать, что число шагов циркуля или число квадратных ячеек необходимых для покрытия береговой линии на карте, будет обратно пропорционально 8, а величина при уменьшении 8 будет стремиться к постоянной Но нашим ожиданиям не суждено сбыться.

Как видно из рис. 2.2, при уменьшении длины 8 шага измеренная длина возрастает. График на этом рисунке выполнен в дважды логарифмическом масштабе и показывает, что при уменьшении 5 измеренная длина береговой линии отнюдь не стремится к постоянному значению. Наоборот, измеренная длина прекрасно описывается приближенной формулой

Для обычной кривой можно было бы ожидать, что (по крайней мере при достаточно малых 8) и показатель равен единице. Но для береговой линии Норвегии, как видно из графика, Береговая линия-фрактал с фрактальной размерностью Подробнее мы обсудим это в разд. 2.3.

В книге Мандельброта [134] есть глава «Чему равна длина береговой линии Британии?» В ней автор анализирует данные, собранные Ричардсоном, и на рис. воспроизведен график из этой главы, на котором показана кажущаяся длина береговых линий и сухопутных границ [127]. Все точки выстраиваются (в дважды логарифмическом масштабе) вдоль прямых. Угловой коэффициент этих прямых равен где -фрактальная размерность береговой линии (или сухопутной границь?).

Рис. 2.3. Длина береговых линий как функция выбранного шага

Береговая линия Великобритании имеет Мандельброт приводит также данные для окружности и находит, как и следовало ожидать, что