8.3. Моделирование долговременных изменений

Пытаясь объяснить статистику Херст поставил эксперимент с помощью «вероятностной колоды карт». На картах из этой колоды нанесены числа причем число карт каждого вида пропорционально соответствующей ординате на нормальной частотной кривой. Всего в колоде 52 карты: 13 единиц, 8 троек, 4 пятерки и 1 семерка. Эти числа довольно точно приближаются к гауссовой нормальной частотной кривой. Колоду сначала хорошо тасуют, а затем снимают. Число на открытой карте записывают. Колоду вновь слегка тасуют, опять снимают и т. д. Можно считать, что записанные числа соответствуют наблюдениям величины, которая имеет частотное распределение, близкое к нормальной, гауссовой кривой.

Эта процедура занимает меньше времени, чем бросание монет: за 20 мин Херст получил этим способом 100 случайных чисел. Мы смоделировали эту процедуру и, как и следовало ожидать, получили результаты, очень близкие к показанным на рис. 8.5 и 8.6.

Рис. 8.7. а - Последовательность сметенных случайных чисел которая образована вытягиванием «карт» из смещенного набора, получившегося после -кратного повторения процедуры Херста; -накопленное отклонение от (нулевого) среднего значения

Затем Херст произвел интересное обобщение своей процедуры, приведшее к смещенному случайному ряду: «Колода тасуется и открывается одна карта; после записывания номера на карте она возвращается в колоду. Затем колода сдается на две руки и если, к примеру, на открытой карте стояло число то 3 карты с наибольшими положительными числами передаются с первой руки на вторую и со второй руки снимаются 3 карты с наибольшими отрицательными числами. При этом на второй руке накапливается определенное смещение. После этого на нее передается джокер». Как и раньше, это смещенное вероятностное распределение карт на второй руке Херст использовал для генерации случайной последовательности. Если при снятии открывается джокер, то колода перетасовывается и начинается новая смещенная сдача.

Херст проделал 6 таких экспериментов, в каждом из которых было по 1000 снятий колоды, и определил значение показателя которые согласуется с его наблюдениями долговременной статистики природных явлений!

Мы смоделировали такое смещенное случайное блуждание, и получившаяся последовательность значений случайной переменной (рис. 8.7, а) сильно отличается от аналогичной последовательности независимых случайных чисел, показанной на рис. 8.5, а. Накопленное отклонение от среднего изображенное на рис. обнаруживает сильные вариации при меньшем «шуме». Итак, при малых значениях запаздывания размах выборки деленный на среднее по выборке значение меньше, чем значение этого отношения для процесса с независимыми приращениями (см. рис. Однако при значениях превышающих 100, величина R/S для смещенного процесса заметно выше, чем для несмещенного. Аппроксимируя полученные значения R/S в диапазоне мы получили и показатель что согласуется с экспериментами Херста с вероятностными картами.

Становится ясным, что смещенный процесс Херста приводит к отклонениям, которые поддерживаются в среднем в течение снятий колоды, если на каждой руке карт. В данном случае джокер открывается в среднем после 27 снятий колоды. Поэтому если на какой-то руке накоплено положительное смещение, суммарное число будет увеличиваться, а если смещение отрицательно, будет тенденция к дальнейшему уменьшению. На больших примежутках времени полученная таким образом случайная последовательность будет близка к случайному процессу с независимыми приращениями и асимптотическое поведение по-прежнему будет описываться соотношением (8.6).

Рис. 8.8 иллюстрирует R/S-анализ описанного выше смещенного процесса Херста при 100000 снятиях вероятностной колоды. Прямая, полученная аппроксимацией данных для дает и кажущееся значение показателя Херста Ясно, что эта прямая не очень хорошо описывает результаты моделирования. Если вычислить кажущееся значение показателя Херста, аппроксимируя результаты

Рис. 8.8. Значения R/S как функция запаздывания (черные кружки) для случайной переменной полученной снятием карт из смещенного набора после повторения процедуры Херста раз. Асимптотическое гауссово поведение показано штриховой линией. Показанная сплошной линией аппроксимация этих точек законом получена при

в диапазоне то мы обнаружим, что оценка заметно уменьшается, когда тмин а это - среднее время нахождения джокера в смещенной выборке (рис. 8.9).

Приближение к гауссовой асимптотике происходит очень меденно. В общем кажущееся значение приближается к 0,5 по мере увеличения тмнн, но оценки значения становятся все менее определенными, поскольку для точности аппроксимации нужны данные в диапазоне, охватывающем несколько декад.

Рис. 8.9. Кажущееся значение показателя Херста как функция минимального запаздывания тмив при аппроксимации зависимости R/S от на рис. 8.8 степенным законом. Использована последовательность из 100000 случайных чисел, полученных с помощью смещенной процедуры Херста.

Можно заключить, что моделирование не приведет к асимптотическому закону, если только не рассматриваются очень длительные измерения. Зная это, мы не возьмемся оценить достоверность оценок показателя не равных 1/2, полученных Херстом по ограниченным наборам измерений.

Анализ одной из самых длинных выборок методом нормированного размаха был проведен Мандельбротом и Уоллисом [143] при исследовании древних климатических изменений по толщине слоев в слоистых илистых отложениях Тимискаминг в Канаде. Эти данные охватывают период в 1809 лет; полученное по ним кажущееся значение показателя Херста очень велико и не заметно никаких признаков отклонений от этой зависимости (рис. 8.10).

Почему же природные процессы подчиняются статистике Херста? Это, несомненно, открытый вопрос. Однако смещенное блуждание Херста, моделируемое с помощью джокера в вероятностной колоде карт, дает ключ к ответу. Сток реки зависит не только от недавних осадков, но и от более ранних дождей. Поток воды в крупных системах рек типа Нила или сток Альберт должны зависеть от содержания воды на их обширных бассейнах. Количество воды, запасенное в бассейнах таких рек и водоемов, будет увеличиваться в течение долгих

Рис. для толщины слоев в отложениях оз. Тимискаминг (Канада) как функция запаздывания в годах [143].

периодов, когда уровень осадков выше среднего. Избыток запасенной воды затем поддержит сток в засушливые годы. Если в течение долгого времени дождей меньше обычного, то общий уровень воды в бассейне реки падает, в последующий период обильных дождей часть воды будет поглощена почвой и сток останется меньше нормального. Эти эффекты «памяти» моделируются джокером в колоде Херста. Что касается стока рек, то фрактальные свойства области, откуда они питаются водой (см. обсуждение в разд. 12.2), также могут способствовать фрактальному поведению стока. Модель обобщенного броуновского движения [141], рассматриваемая в следующей главе, учитывает эффекты памяти.

Мы показали, что для того, чтобы получить гауссову статистику, даже в системах с умеренными эффектами памяти требуются исключительно длительные ряды наблюдений. Поэтому неясно, насколько уверенно значения показателя Херста превышающие 1/2, в исследованиях методом R/S указывают на поддерживающиеся тенденции (персистентность), - и вновь требуются дополнительные исследования.

В качестве примера недавнего анализа методом R/S рассмотрим результаты, воспроизведенные на рис. 8.11. Пористость как функция глубины определялась по кернам, полученным при бурении скважины [91]. Как видно из рисунка, пористость сильно флуктуирует. Анализ методом результаты которого показаны на рис. 8.11 справа, ясно указывает на присутствие поддерживающейся тенденции, характеризуемой показателем Херста Автор этой работы обсуждает также свойства дисперсии флуктуаций пористости, которые приводят к тому же значению

Рис. 8.11. Пористость как функция глубины (в футах) по анализу кернов (слева). R/S как функция запаздывания для измерений пористости (справа). Сплошной линией показана аппроксимация с Штриховая линия - процесс со статистически независимыми приращениями [91].