Главная > Фракталы (Федер Е.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.1. Протекание от узла к узлу на квадратной решетке

Запомним случайным образом некоторую долю (равную узлов квадратной сетки, т.е. квадратной решетки, какими-нибудь объектами, как показано на рис. 7.1. Эти объекты соответствуют порам в матрице. Соседние поры соединены между собой небольшими капиллярными каналами. Жидкость, инжектированная в любую пору, может вторгнуться только в пору, непосредственно соединенную с данной капиллярным каналом, или «связью». Поры, или «узлы», связанные с выбранным центром инжекции, образуют так называемый кластер. На рис. 7.1 наибольший кластер содержит 46 узлов, второй по величине кластер содержит 29 узлов и т.д. Существует несколько кластеров, содержащих лишь по одной поре. Рассматривая рис. 7.1, мы быстро замечаем, что ни один из кластеров не простирается по всей решетке. Следовательно, невозможно инжектировать жидкость в узел у левого края решетки и наблюдать, что она вытечет где-то у правого края образовавшейся структуры.

Рис. 7.1. Слева: квадратная решетка, половина узлов которой занята «порами». Справа: связные образования, или «кластеры». Наибольшие кластеры для большей наглядности изображены другими символами пор. Решетка состоит из узлов с

К чему приводит повышение вероятности иметь пустую пору в узле решетки, показано на рис. 7.2. (цветной вариант этого рисунка показан на вклейке). Кластеры различной величины изображены различным цветом (от черного до белого на рис. 7.2 и различными цветами на вклейке). Наибольший (белый) кластер растет от кластера умеренных размеров при до очень большого кластера, содержащего значительную часть всех узлов, при При наибольший кластер простирается по всей решетке, соединяя левый и правый края решетки с ее нижним краем. Такой кластер называется простирающимся по всей решетке, или перколяционным, кластером. При повторении численных экспериментов всякий раз получаются новые конфигурации кластеров. Кластер, простирающийся по всей решетке, впервые возникает при Численное моделирование на очень больших решетках показало, что вероятность образования простирающегося по всей решетке кластера при падает до нуля при При простирающемуся по всей решетке кластеру принадлежит конечная доля узлов. В случае протекания от узла к узлу на квадратной решетке критическая вероятность при которой впервые возникает кластер, простирающийся по всей решетке, равна .

Вероятность протекания определяется как вероятность того, что жидкость, инжектированная в каком-то одном случайно выбранном узле, оросит бесконечно много пор. Заметим, что вероятность иметь пору в том узле, где мы намереваемся инжектировать жидкость, равна

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.3. Вероятность принадлежности узла наибольшему кластеру как функция вероятности того, что данный узел не заполнен - пора на квадратной решетке Сплошная кривая построена при штриховая - при и 50. Вертикальная линия соответствует

Вероятность того, что жидкость оросит бесконечно много пор, если ее инжектировать в пору, о которой известно, что та принадлежит кластеру, равна На практике нам приходится рассматривать конечные системы, состоящие из пор. Для квадратных решеток где есть евклидова размерность пространства, в котором находится решетка. При численном моделировании мы определяем число узлов принадлежащих наибольшему кластеру на решетке и оцениваем вероятность протекания которая равна величине усредненной по результатам многих численных экспериментов, аналогичных представленным на рис. 7.2. Вероятность протекания определяется выражением

Для квадратной решетки мы оценивали вероятность протекания на решетках при при и 450 узлов, производя соответственно 200, 100 и 10 независимых выборок. Результаты оценки вероятности протекания представлены на рис. 7.3. При низкой концентрации пор вероятность протекания пренебрежимо мала. При увеличении вероятность принадлежности узла к наибольшему кластеру резко возрастает вблизи и при вероятность протекания возрастает почти линейно до единицы. При увеличении перколяционный переход при становится более резким.

Критическая вероятность определяется как наибольшее значение вероятности при котором Формально это можно записать в виде

Следовательно, по определению при Перколяционный процесс претерпевает переход из состояния локальной связности к состоянию, в котором связи простираются неограниченно далеко. Экстенсивное моделирование и теоретические соображения показывают, что вблизи вероятность протекания убывает по степенному закону

Показатель равен для двумерного и для трехмерного протекания. В этом случае протекание аналогично магнитным фазовым переходам, при которых локальный порядок магнитных моментов возрастает в определенных пределах, когда температура понижается до температуры перехода материала. Ниже магнитные моменты в среднем выстраиваются по всему образцу, и мы получаем магнит. Многие теоретические методы, развитые для исследования фазовых переходов, были применены к задачам протекания. Кроме того, по аналогии с теорией фазовых переходов были определены различные критические показатели. Так, для многих магнитных материалов вблизи критической точки намагничивание убывает по степенному закону при в интервале 0,3 — 0,5 для трехмерных фазовых переходов. Разумеется, при численных экспериментах вероятность протекания остается отличной от нуля даже при Следует заметить, что в численном эксперименте, результаты которого представлены на нам неоднократно встречались случаи, когда самые большие кластеры почти соединяли противоположные стороны решетки при оценки, представленные на рис. 7.3, эти случаи не входят.

1
Оглавление
email@scask.ru