7.1. Протекание от узла к узлу на квадратной решетке

Запомним случайным образом некоторую долю (равную узлов квадратной сетки, т.е. квадратной решетки, какими-нибудь объектами, как показано на рис. 7.1. Эти объекты соответствуют порам в матрице. Соседние поры соединены между собой небольшими капиллярными каналами. Жидкость, инжектированная в любую пору, может вторгнуться только в пору, непосредственно соединенную с данной капиллярным каналом, или «связью». Поры, или «узлы», связанные с выбранным центром инжекции, образуют так называемый кластер. На рис. 7.1 наибольший кластер содержит 46 узлов, второй по величине кластер содержит 29 узлов и т.д. Существует несколько кластеров, содержащих лишь по одной поре. Рассматривая рис. 7.1, мы быстро замечаем, что ни один из кластеров не простирается по всей решетке. Следовательно, невозможно инжектировать жидкость в узел у левого края решетки и наблюдать, что она вытечет где-то у правого края образовавшейся структуры.

Рис. 7.1. Слева: квадратная решетка, половина узлов которой занята «порами». Справа: связные образования, или «кластеры». Наибольшие кластеры для большей наглядности изображены другими символами пор. Решетка состоит из узлов с

К чему приводит повышение вероятности иметь пустую пору в узле решетки, показано на рис. 7.2. (цветной вариант этого рисунка показан на вклейке). Кластеры различной величины изображены различным цветом (от черного до белого на рис. 7.2 и различными цветами на вклейке). Наибольший (белый) кластер растет от кластера умеренных размеров при до очень большого кластера, содержащего значительную часть всех узлов, при При наибольший кластер простирается по всей решетке, соединяя левый и правый края решетки с ее нижним краем. Такой кластер называется простирающимся по всей решетке, или перколяционным, кластером. При повторении численных экспериментов всякий раз получаются новые конфигурации кластеров. Кластер, простирающийся по всей решетке, впервые возникает при Численное моделирование на очень больших решетках показало, что вероятность образования простирающегося по всей решетке кластера при падает до нуля при При простирающемуся по всей решетке кластеру принадлежит конечная доля узлов. В случае протекания от узла к узлу на квадратной решетке критическая вероятность при которой впервые возникает кластер, простирающийся по всей решетке, равна .

Вероятность протекания определяется как вероятность того, что жидкость, инжектированная в каком-то одном случайно выбранном узле, оросит бесконечно много пор. Заметим, что вероятность иметь пору в том узле, где мы намереваемся инжектировать жидкость, равна

(кликните для просмотра скана)

Рис. 7.3. Вероятность принадлежности узла наибольшему кластеру как функция вероятности того, что данный узел не заполнен - пора на квадратной решетке Сплошная кривая построена при штриховая - при и 50. Вертикальная линия соответствует

Вероятность того, что жидкость оросит бесконечно много пор, если ее инжектировать в пору, о которой известно, что та принадлежит кластеру, равна На практике нам приходится рассматривать конечные системы, состоящие из пор. Для квадратных решеток где есть евклидова размерность пространства, в котором находится решетка. При численном моделировании мы определяем число узлов принадлежащих наибольшему кластеру на решетке и оцениваем вероятность протекания которая равна величине усредненной по результатам многих численных экспериментов, аналогичных представленным на рис. 7.2. Вероятность протекания определяется выражением

Для квадратной решетки мы оценивали вероятность протекания на решетках при при и 450 узлов, производя соответственно 200, 100 и 10 независимых выборок. Результаты оценки вероятности протекания представлены на рис. 7.3. При низкой концентрации пор вероятность протекания пренебрежимо мала. При увеличении вероятность принадлежности узла к наибольшему кластеру резко возрастает вблизи и при вероятность протекания возрастает почти линейно до единицы. При увеличении перколяционный переход при становится более резким.

Критическая вероятность определяется как наибольшее значение вероятности при котором Формально это можно записать в виде

Следовательно, по определению при Перколяционный процесс претерпевает переход из состояния локальной связности к состоянию, в котором связи простираются неограниченно далеко. Экстенсивное моделирование и теоретические соображения показывают, что вблизи вероятность протекания убывает по степенному закону

Показатель равен для двумерного и для трехмерного протекания. В этом случае протекание аналогично магнитным фазовым переходам, при которых локальный порядок магнитных моментов возрастает в определенных пределах, когда температура понижается до температуры перехода материала. Ниже магнитные моменты в среднем выстраиваются по всему образцу, и мы получаем магнит. Многие теоретические методы, развитые для исследования фазовых переходов, были применены к задачам протекания. Кроме того, по аналогии с теорией фазовых переходов были определены различные критические показатели. Так, для многих магнитных материалов вблизи критической точки намагничивание убывает по степенному закону при в интервале 0,3 — 0,5 для трехмерных фазовых переходов. Разумеется, при численных экспериментах вероятность протекания остается отличной от нуля даже при Следует заметить, что в численном эксперименте, результаты которого представлены на нам неоднократно встречались случаи, когда самые большие кластеры почти соединяли противоположные стороны решетки при оценки, представленные на рис. 7.3, эти случаи не входят.