9.7. Метод R/S для обобщенного броуновского движения

Соотношение подобия (9.22) привело к выводу (9.23) о том, что случайная функция пропорциональна Отсюда следует [134, 146], что размах при запаздывании также является случайной функцией, которая подчиняется закону подобия

Поскольку для истинной дисперсии мы имеем а дисперсия выборки значений нормированной фрактальной броуновской функции близка к единице, отсюда вытекает, что нормированный размах R/S подчиняется статистической зависимости

Итак, мы пришли к заключению, что показатель Херста можно оценить, аппроксимируя экспериментальные или модельные результаты соотношением (9.28).

Для проверки этого соотношения мы применили метод R/S к анализу результатов численного моделирования функции На рис. 9.7 показаны результаты применения метода R/S к гауссову процессу с независимыми приращениями, показанному на рис. 9.1.

Рис. 9.7. Отношение R/S в зависимости от запаздывания для стандартной гауссовой переменной с независимыми значениями Штриховой линией показана ожидаемая теоретическая асимптотика Сплошной линией показана аппроксимирующая зависимость при

Рис. 9.8. Отношение R/S в зависимости от запаздывания для фрактальной броуновской функции Штриховой линией показана асимптотическая зависимость для гауссова процесса с независимыми значениями, Сплошная линия - аппроксимация при

Для нашей модели показатель Херста равен что хорошо согласуется с теоретическим значением

На рис. 9.8 приведены результаты расчета R/S для фрактальной броуновской функции показанной на рис. Как видим, эти результаты сильно отличаются от случая обычного броуновского процесса. Однако найденное значение показателя Херста несколько меньше значения использованного при моделировании. Впрочем, следует помнить, что наша модель дает лишь приближенно фрактальные броуновские функции, поскольку мы используем конечное время памяти и конечное разрешение Поэтому вполне естественно, что оценка показателя Херста по численной модели несколько занижена, - при запаздывании наша модель переходит в гауссов процесс с независимыми значениями, а для него Можно заключить, что показатель Херста можно точно оценить, анализируя хорошо определенные наборы данных, состоящие примерно из 2500 измерений.