9.4. Обобщенное броуновское движение

Понятие обобщенного броуновского движения введено Мандельбротом через обобщение случайной функции путем замены показателя в соотношениях (9.12) и (9.13) на любое действительное число из интервала результат обобщения обозначается Действительно обобщенными являются случаи, когда случай соответствует независимым приращениям и описывает броуновское движение; в этом случае мы будет использовать обозначение.

Если в выражениях (9.13) и (9.14) обозначение координаты точки заменить на то будет ясно, что обобщенный броуновский процесс имеет нулевое среднее приращение

а дисперсия приращений имеет вид

Как видим, и для обычного, и для обобщенного броуновского движения со временем дисперсия растет.

Важно понять, что обобщенное броуновское движение имеет бесконечно большое время корреляции. В частности, приращения в прошлом скоррелированы с будущими приращениями: если известно приращение за период времени от — до 0, то вероятность иметь приращение усредненная по распределению прошлых приращений, равна

Положим для удобства и будем использовать такие единицы измерения, чтобы выполнялись равенства Функцию корреляции будущих приращений с прошлыми можно записать в виде

нормированном на дисперсию Последнее соотношение непосредственно вытекает из (9.15).

Прежде всего заметим, что при корреляция прошлых и будущих приращений отсутствует при всех как и должно быть для случайного процесса с назависимыми приращениями. Однако при мы получаем независимо от Это - замечательное свойство обобщенного броуновского движения, заключающееся в персистентности (сохранении тенденции) и антиперсистентности. При поддерживается имеющаяся тенденция. Если в этом случае приращения были положительными в течение некоторого времени в прошлом, т.е. происходило увеличение, то и впредь в среднем будет происходить увеличение. Таким образом, для процесса с тенденция к увеличению в прошлом означает тенденцию к увеличению в будущем и, более того, это справедливо для произвольно больших . И наоборот, тенденция к уменьшению в прошлом означает, в среднем, продолжение уменьшения в будущем.

Случай характеризуется антиперсистентностью. В этом случае рост в прошлом означает уменьшение в будущем, а тенденция к уменьшению в прошлом делает вероятным увеличение в будущем.

Следует заметить, что поведение статистического ряда, описываемое выражением (9.16), противоречит обычно допускаемым или доказываемым свойствам статистических рядов и физических систем. Как правило, в статистической физике подразумевается предположение, что события могут быть скоррелированы, если они разделены во времени не более чем на но они непременно окажутся некоррелированными в пределе Подобная статистическая независимость на больших интервалах во времени и/или пространстве является существенной составной частью представлений о тепловом равновесии. Имеются и исключения: по мере приближения к точке фазового перехода второго порядка,

например к критической точке жидкости, в корреляционных функциях плотности появляется компонента, которая не содержит ни пространственного, ни временного собственного масштаба. Вследствие этого свободная энергия системы содержит критическую компоненту, которая подчиняется соотношению подобия вида (2.13), и степенное поведение корреляционных функций становится не исключением, а правилом.

Что касается временных рядов наблюдений, то при обсуждении метода Херста мы убедились, что его применение ко многим естественным явлениям обнаруживает, что они характеризуются персистентностью на широком интервале временных масштабов. Для моделирования временных рядов, описывающих подобные явления, полезно обобщенное броуновское движение.