Глава 4. Образование вязких пальцев в пористых средах

Проблема образования так называемых вязких пальцев в пористых средах имеет первостепенное значение для добычи нефти. Она представляет интерес и для гидродинамики, и для физики пористых сред. Недавно было показано, что вязкие пальцы в пористых средах имеют фрактальную природу [36, 122, 123]. Мы начинаем с введения в проблему образования вязких пальцев в двумерной геометрии (ячейке Хеле-Шоу) и приводим некоторые из соответствующих экспериментальных результатов. Затем мы излагаем экспериментальные результаты относительно образования вязких пальцев в пористых средах и, в частности, обсуждаем самые последние данные о том, что вязкие пальцы имеют фрактальную природу.

Связь между процессом ОДА (с результатами, аналогичными представленным на рис. 3.3) и известной неустойчивостью фронта вытеснения в пористых средах, где сильно вязкая жидкость (нефть) вытесняется слабо вязкой жидкостью (водой), на первый взгляд может показаться удивительной. На аналогию, существующую между этими двумя явлениями, недавно обратил внимание Патерсон [170]. Она основана на том, что в приближении сплошной среды обе задачи описываются уравнением Лапласа.

4.1. Течение жидкости в ячейке Хеле-Шоу

Ячейка Хеле-Шоу состоит из двух прозрачных пластин, разделенных зазором толщиной . Хеле-Шоу [85] исследовал в такой ячейке обтекание водой различных предметов. Вводя краситель, он получил разноцветные линии тока и тем самым визуализовал всю картину обтекания. Эти эксперименты служат прямым подтверждением того, что при малых течение жидкости в ячейке Хеле-Шоу является потенциальным течением, характерным для малых чисел Рейнольдса. При увеличении зазора между пластинами при умеренных скоростях возникает турбулентное течение с хаотически перепутанными линиями тока.

Уравнение для скорости течения выведенное из уравнений Навье-Стокса, которые описывают течение в изображенной на рис. 4.1 ячейке Хеле-Шоу, имеет вид

Рис. 4.1. Геометрия канала Хеле-Шоу.

где давление, -плотность и составляющая ускорения свободного падения вдоль оси ячейки. Подвижность определяется величиной а потенциал течения - величиной Для ячейки, расположенной горизонтально, Вязкость жидкости равна а проницаемость ячейки Хеле-Шоу - величине

Заметим, что скорость в уравнении (4.1) есть средняя скорость по толщине ячейки (ширине зазора). Для несжимаемых жидкостей из уравнения неразрывности получаем

Это уравнение Лапласа. Именно такому уравнению удовлетворяет потенциал в задачах электростатики, диффузии и во многих других областях, поэтому мы можем назвать течения, описываемые уравнением (4.3), потенциальными течениями. Чтобы найти решение - скорость течения, мы должны помимо уравнения Лапласа удовлетворить граничным условиям, например заданному давлению на обоих концах ячейки и нулевой скорости жидкости всюду, где жидкость соприкасается со стенками.

Рассмотрим ситуацию, изображенную на рис. 4.1, где одна жидкость (обозначим ее индексом 1) вытесняет другую жидкость (обозначим ее индексом 2). Поверхность раздела между двумя жидкостями, когда они покоятся, определяется действием капиллярных сил, и между двумя жидкостями существует разность давлений

Здесь -поверхностное натяжение на границе раздела между двумя жидкостями. Два главных радиуса кривизны описывают границу раздела жидкостей локально, как показано на рис. 4.2.

Рис. 4.2. Геометрия поверхности раздела жидкость-жидкость.

Условимся считать радиусы кривизны положительными, если их центр находится в жидкости 1. Радиус кривизны определяется углом смачивания 0, описывающим, как именно граница раздела двух жидкостей соприкасается с пластинами, которые задают геометрию ячейки. Обычно кроме того, мы будем предполагать, что Если жидкости покоятся и жидкость 2 смачивающая, то

Будем теперь инжектировать жидкость 1 с постоянной скоростью в точке и отводить жидкость 2 с такой же постоянной скоростью в точке Граница раздела между двумя жидкостями в этом случае будет двигаться с постоянной скоростью вдоль оси Но если вязкость вытесняющей жидкости меньше вязкости вытесняемой жидкости, то граница раздела двух жидкостей оказывается неустойчивой. Энгельбертс и Клинкенберг [54], описывая свои наблюдения такого рода неустойчивостей при вытеснении нефти водой в пористой среде, предложили термин образование вязких пальцев. Течение в вязких средах также описывается уравнениями (4.1) и (4.3), и поэтому течение в ячейках Хеле-Шоу часто используется для моделирования течения в пористых средах. Однако, как мы увидим, между этими течениями существуют и важные различия, поэтому сама допустимость использования ячейки Хеле-Шоу в качестве модели течения в пористых средах представляется сомнительной.

Теория образования вязких пальцев была развита и сравнена с экспериментами независимо Саффмэном и Тейлором [189] и Чуоке и др. [37]. В последнее время интерес к этой области заметно вырос, и было опубликовано много новых теоретических и экспериментальных результатов, полученных, в частности, Бенсимоном и др. [17], Енсеном и др. [102] и ДеГригориа и Швартцем [48]. Один из последних обзоров работ по образованию вязких пальцев опубликован Хомси [93].

Физика процесса образования вязких пальцев определяется динамикой движения границы. Предположим, что разность давлений поддерживается на длине конечной ячейки Хеле-Шоу, в которой воздух вытесняет жидкость, обладающую большой вязкостью. Давление в воздухе постоянно и равно давлению на входе

Мы предполагаем также, что палец выступает в ту сторону, куда движется фронт вытеснения, опережая остальную его часть. Тогда давление на конце пальца также равно Следовательно, наибольший градиент давления в сильно вязкой жидкости образуется на конце пальца и определяется выражением

где -положение конца пальца. Этот большой градиент индуцирует максимальную скорость течения жидкости непосредственно перед самым длинным пальцем, который растет быстрее, чем фронт в среднем, а такая ситуация, как нетрудно видеть, неустойчива.

Чтобы проверить на устойчивость движущуюся границу раздела, последуем стандартной процедуре [37, 189] и предположим, что на прямую границу раздела наложено синусоидальное возмущение. Тогда в движущейся системе отсчета положение границы определяется действительной частью выражения

как показано на рис. 4.1. Длина волны возмущения равна X, скорость нарастания возмущения равна у.

Для устойчивой границы раздела возмущение затухает со временем, т. е. Если скорость нарастания возмущения положительна то возмущение с бесконечно малой амплитудой нарастает экспоненциально.

При решении уравнений содержащих только линейные члены по фронт вытеснения оказывается неустойчивым относительно возмущений с длиной волны X, превышающей критическую длину волны

Возмущения с более короткими длинами волн стабилизируются поверхностным натяжением на границе раздела. Критическая скорость определяется выражением

Заметим, что при мы получаем если поэтому система неустойчива даже при Кроме того, в отсутствие гравитационных эффектов граница раздела неустойчива при любой скорости, так как

При всех длинах волн фронт вытеснения неустойчив; однако

возмущения с длиной волны определяемой выражением

имеют наибольшую скорость нарастания и в основном определяют динамику фронта. Следовательно, можно ожидать, что в экспериментах, проводимых в канале Хеле-Шоу с зазором шириной на первоначально прямой границе раздела разовьются вязкие пальцы с характерным периодом Используя выражение (4.2) для проницаемости и предполагая, что вязкость вытесняющей жидкости пренебрежимо мала как в случае глицерина, вытесняемого воздухом, получаем, что в горизонтальной ячейке можно ожидать возникновения вязких пальцев с периодом

Здесь мы ввели безразмерное капиллярное число определяемое выражением

Оно показывает, чему равно отношение вязких сил к капиллярным силам.