2.5. Подобие и скейлинг

Прямая-особое множество точек в пространстве: при любом изменении масштаба мы получим то же самое множество точек. Кроме того, произведя над прямой параллельный перенос, мы снова получим то же самое множество точек. Прямая инвариантна относительно параллельного переноса и изменения масштаба, или скейлинга, - можно сказать, что прямая самоподобна.

Уточним наше утверждение. Зададим точки в пространстве их декартовыми координатами Прямая, проходящая через точку в направлении есть множество точек У, определяемое соотношением

Параметр здесь любое действительное число. Если изменить масштаб длины в одно и то же число раз для всех компонент радиус-вектора точки отобразятся в новые точки и мы получим новое множество точек определяемое соотношением

Здесь снова любое действительное число. Если сдвинуть новое множество точек подвергнув все его точки параллельному переносу на величину то в результате мы получим исходное множество точек У: прямая инвариантна относительно изменения масштаба длины. Прямая инвариантна и относительно параллельного переноса где -любое действительное число.

Как показывают аналогичные соображения, плоскость инвариантна относительно параллельных переносов в любом направлении, лежащем в ней самой, и относительно изменения масштабов длины. Наконец, трехмерное пространство инвариантно относительно параллельных переносов в любом направлении и относительно изменения масштабов длины.

Другие множества точек не обладают столь прочными симметриями - инвариантностью относительно параллельных переносов и скейлинга. Окружность не инвариантна ни относительно параллельного переноса, ни относительно скейлинга, а инвариантна относительно поворотов вокруг собственного центра. Фракталы также не обладают свойствами некоторых или даже всех этих простых инвариантностей.

Полезно рассмотреть ограниченные множества, такие, как конечный отрезок прямой. Отрезок прямой не обладает трансляционной

симметрией - любой сдвиг его всегда порождает новое множество точек. Но если изменить длины в раз, где то получится новое множество точек которое составит небольшую часть прямой. Этим отрезком прямой, подвергнув его параллельному переносу, можно покрыть часть исходного прямолинейного отрезка У. При надлежащем выборе числа мы можем однократно покрыть исходный отрезок непересекающимися отрезками. Можно сказать, что множество У самоподобно с коэффициентом подобия Для отрезка прямой единичной длины мы можем выбрать где - любое целое число. Прямоугольный участок плоскости можно покрыть его уменьшенными копиями, если их длины изменить в раз. Аналогично прямоугольный параллелепипед можно покрыть его уменьшенными копиями, если выбрать . В общем случае масштабный множитель следует выбирать равным

Размерность подобия для прямых, плоскостей и кубов равна соответственно 1, 2 и 3.

Рассмотрим теперь кривую Кох на рис. 2.8. С масштабным множителем мы получаем первую треть всей кривой. Нам необходимо таких фрагментов, чтобы покрыть исходное множество его уменьшенными копиями, подвергая их повторным параллельным переносам и поворотам. Мы можем также выбрать масштабный множитель и покрыть исходное множество его уменьшенными копиями. Как было показано, для триадной кривой Кох масштабный множитель определяется выражением

с размерностью подобия равной размерности Хаусдорфа - Безиковича

В общем случае размерность подобия определяется выражением

Для самоподобных фракталов размерность Хаусдорфа-Безиковича равна и для таких фракталов мы будем опускать индекс размерности подобия.

Размерность подобия легко поддается определению для различных фракталов, получающихся с помощью различных вариантов построения Кох. Рассмотрим предфрактал Кох, построенный с единичным квадратом в качестве затравки и с образующим элементом, состоящим из ломаных длиной изображенных на рис. 2.9. Эта кривая имеет размерность подобия и равна размерности Хаусдорфа Безиковича множества, получающегося после бесконечно большого числа итераций. Заметим, однако, что, поскольку в качестве затравки мы используем единичный квадрат, фигура в целом не выдерживает преобразования подобия. Каждый фрагмент «береговой линии»

Рис. 2.9. Построение квадратной кривой Кох.

самоподобен, но, уменьшив всю кривую в раз, мы получим уменьшенную копию оригинала, и вполне возможно, что оригинал нельзя будет покрыть такими уменьшенными множествами. Дело в том, что фрактальная скейлинговая инвариантность достигается только в пределе при и мы заключаем, что фрактальная природа кривых Кох есть, строго говоря, локальное свойство. Замечательная кривая Кох изображена на рис. 2.10. Эта кривая без самопересечений заполняет прямоугольный равнобедренный треугольник. Затравкой служит единичный интервал, а образующий элемент, показанный на рис. 2.10, состоит из звеньев длиной Мы выбрали коэффициент 0,99 для того, чтобы нам легче было проследить за структурой кривой, так как при каждое поколение выглядит просто как бумага «в клеточку».

Определяемое этим построением фрактальное множество имеет размерность Как видно из рис. 2.10, образующий элемент используется в двух вариантах: один сдвигает середину отрезка прямой влево, другой вправо. Кроме того, каждое новое поколение предфракталов начинается с чередующихся левых и правых образующих элементов. На рис. 2.10 каждое новое поколение показано в увеличенном виде. Это сделано для того, чтобы прямолинейные отрезки имели заданную длину и за структурой кривой можно было следить без ухудшения разрешающей способности.

Попытаемся теперь слегка изменить правила построения. Пусть при первом использовании образующего элемента середина образующего отрезка смещается влево. Каждое последующее поколение начинается с образующего элемента, смещенного вправо, а затем смещения середины вправо и влево чередуются. Несколько первых поколений и 11-е поколение показаны на рис. 2.11. Предельная фрактальная кривая называется драконом Хартера-Хейтуэя.

Если сохранить правила построения треугольного невода, но воспользоваться при этом образующим элементом, изображенным на рис. 2.12, то получится самопересекающаяся кривая, заполняющая плоскость. 10-е поколение показано на рис. 2.12.

(кликните для просмотра скана)

Рис. 2.12. Модифицированный треугольный невод, Образующий элемент, изображенный в левом верхнем углу, покрывает единичный отрезок и преобразуется с двумя коэффициентами подобия

Образующий элемент разбивает единичный отрезок на две части, расположенные под прямым углом друг к другу. Длинный катет изменяется с масштабным множителем а короткий - с другим масштабным множителем, . В этом случае мы уже не можем при определении размерности подобия использовать формулу (2.10). Мандельброт определил размерность подобия как размерность, для которой выполняется соотношение

В рассматриваемом случае Верно также, хотя и не доказано, утверждение о том, что эта размерность совпадает с размерностью Хаусдорфа - Безиковича данного фрактального множества. Кроме того, при использовании соотношения (2.11) возникает вопрос о том, как быть с перекрывающимися частями кривой. Впрочем, стоит лишь перейти от простейших фракталов к чуть более сложным, как возникает множество далеко не простых вопросов.