7.2. Бесконечный кластер при ...

Как растет масса, или число узлов, наибольшего кластера с увеличением характерного размера решетки? При мы ожидаем, что где правая часть при стремится к есть просто плотность узлов, принадлежащих перколяционному кластеру. В то же время при мы ожидаем, что при так как При можно ожидать, что будет возрастать почти как Экстенсивные исследования зависимости от привели к следующему результату:

Масса перколяционного кластера составляет при конечную долю всех узлов. Ниже кластер, простирающийся по всей решетке, как правило, не существует. Однако если интерпретировать как размер наибольшего кластера (см., например, [205]), то оказывается, что лишь очень слабо, т.е. логарифмически, возрастает с увеличением.

На пороге протекания масса кластера, простирающегося по всей решетке (он является и наибольшим кластером), возрастает с увеличением по степенному закону Результаты численных экспериментов на квадратной решетке представлены на рис. 7.4. Они показывают, что перколяционный кластер на пороге протекания имеет фрактальную структуру с фрактальной размерностью (см. соотношение (3.1.)). Фрактальный перколяционный кластер на пороге протекания часто называют внутренним перколяционным кластером. Для результатов, представленных на рис. 7.4, фрактальная размерность по оценкам имеет значение Указанная ошибка имеет статистическую природу и характеризует качество подгонки степенного закона к результатам численного моделирования, представленным на рис. 7.4. Анализ систематических ошибок - дело тонкое. Когда перколяционный кластер на конечной решетке размером составляет лишь часть внутреннего перколяционного кластера, то некоторые из узлов, не входящих в перколяционный кластер на решетке размером на самом деле принадлежат внутреннему перколяционному кластеру, так как соединены с ним связями, лежащими вне рассматриваемого фрагмента. При численное моделирование на квадратной решетке приводит к фрактальной размерности для перколяционного кластера.

Рис. 7.4. Масса наибольшего кластера как функция линейного размера квадратной решетки. Черные кружки соответствуют Сплошная линия - зависимость При (светлые квадраты) кривая, проведенная через экспериментальные точки (штриховая линия), дает При т.е. при экспериментальные точки (светлые кружки) ложатся на прямую (показанную пунктиром).

И в этом случае ошибка имеет статистическую природу, есть угловой коэффициент прямой, проведенной через точки, полученные с помощью численного моделирования при и представленные на рис. 7.4. По точкам, соответствующим на этом рисунке наибольшим кластерам, была построена подгоночная прямая Она проведена на рис. 7.4 штриховой линией. Все результаты численных экспериментов, представленные на рис. 7.4, согласуются с асимптотическим поведением, описываемым соотношением (7.4.).

Сайкес и Эссам [208] показали, что порог протекания от узла к узлу на треугольной решетке равен (точный результат). Это позволяет получать результаты для внутренних перколяционных кластеров с очень малой погрешностью, производя численные эксперименты на треугольной решетке. Такие результаты, полученные Штауффером [205] и представленные на рис. 7.5, позволяют получить для фрактальной размерности оценку, согласующуюся с точным значением . Как показывают результаты численных экспериментов, это значение возникает в задачах с протеканием от узла к узлу на всех двумерных решетках.

Мы заключаем, что при протекании от узла к узлу на двумерных решетках внутренний перколяционный кластер имеет фрактальную структуру, и с увеличением масса такого кластера возрастает в среднем как

Среднее берется по многим реализациям внутреннего перколяционного кластера. Амплитуда А есть эффективная амплитуда, вычисленная по значениям амплитуд для кластеров конечных размеров. Степенной закон (7.5) для массы внутреннего перколяционного кластера выполняется только асимптотически при больших При реалистических значениях это скейлинговое соотношение следует модифицировать, введя в него поправочные члены (см., например,

где Определить поправочные члены с помощью прямых численных экспериментов довольно трудно. Аарони и др. [6] предложили новый метод трансфер-матрицы, упрощающий решение этой задачи. Как правило, в двумерных задачах

Заметим, что кривая Мандельброта-Гивена (см. рис. 2.13) имеет фрактальную размерность и может служить хорошей моделью для перколяционного кластера.