Глава 9. Случайное блуждание и фракталы

Случайность присуща всем природным явлениям. Даже в самых правильных кристаллах есть множество случайно разбросанных включений и других дефектов. По сути дела, даже если бы кристалл был идеальным и каждый атом занимал в нем строго определенное место, то и это состояние поддерживалось бы лишь в среднем, поскольку атомы совершают постоянное тепловое движение. Поэтому даже системы, наиболее близкие к идеальным, в реальном состоянии содержат элементы случайности. Имеются веские основания считать, что многие природные явления описываются наилучшим образом как фракталы. Однако, если мы хотим применить фракталы к описанию природы, следует развить концепцию случайных фракталов.

Ввиду исключительной важности броуновского движения, или процесса случайных блужданий, в физике, химии и биологии мы начнем с обсуждения этого явления как примера случайного процесса, обладающего фрактальными свойствами. Простейший случай - одномерное случайное блуждание - затем можно обобщить на большее число измерений. Мы также рассмотрим обобщенное броуновское движение, впервые введенное Мандельбротом. Применение метода нормированного размаха, предложенного Херстом, показывает, что статистические свойства многих природных явлений действительно лучше всего описываются на языке обобщенного броуновского движения.

9.1. Броуновское движение

Роберт Браун (Броун) первым понял [30], что неупорядоченное движение микроскопических частиц пыльцы имеет не биологическую природу, как думали до него, а физическую. Все подвержено тепловым флуктуациям, и молекулы, макромолекулы, вирусы, пылинки и другие компоненты окружающего нас мира находятся в вечном движении в постоянных случайных столкновениях, обусловленных их тепловой энергией. Частица вещества, имеющая абсолютную температуру несет среднюю кинетическую энергию где —постоянная Больцмана. Как показал Эйнштейн [53], эта энергия не зависит от размера частицы. Наши знания о тепловом равновесии и путях его достижения зиждутся в

основном на обширнейших результатах, полученных при исследовании явления, названного «броуновским движением». С помощью микроскопа можно воочию убедиться, что движение «броуновской частицы» представляет собой набор шагов в случайно выбираемых направлениях, причем длина шага имеет некоторую характерную величину. Поэтому в описаниях броуновского движения можно часто встретить термин «случайное блуждание».

Подчеркнем, что в броуновском движении независимы не положения частицы в разные моменты времени - смещение частицы в течение одного промежутка времени не зависит от ее же смещения в течение другого интервала времени.

Увеличив разрешение микроскопа и временное разрешение, с которым регистрируется движение, мы вновь получим подобное случайное блуждание. Как мы увидим ниже, броуновское движение самоподобно. Если время рассматривать как дополнительное измерение, то зависимость положения частицы как функция времени, называемая диаграммой движения, является не самоподобной, а самоаффинной. Различие понятий «самоподобие» и «самоаффинность» будет играть важную роль в последующих разделах этой книги.

На языке броуновского движения можно наиболее глубоко понять явление диффузии. Некоторые интересные и часто удивительные эффекты броуновского движения в биологии замечательно описаны в небольшой книге Берга [20].