Главная > Фракталы (Федер Е.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

7.5. Распределение величины кластеров при ...

Рассмотрим теперь распределение размеров кластеров, полученных при критическом значении (на пороге протекания) и представленных на рис. 7.2. Пусть -среднее число кластеров, содержащих узлов, на один узел. Иначе говоря, число кластеров, содержащих узлов, на решетке должно быть по этой оценке равно Следовательно, если мы выбираем узел случайным образом, то с вероятностью, пропорциональной он принадлежит кластеру, состоящему из частиц, поскольку «столкнуться» с таким кластером блуждающая частица может способами. Таким образом, нормированная на один узел вероятность того, что выбранный случайным образом узел принадлежит кластеру, состоящему из узлов, определяется выражением

Нормирующий множитель есть просто доля узлов решетки, принадлежащих конечным кластерам. Средняя масса кластера есть

величина

При численном моделировании на конечной решетке со стороной нам необходимо установить, что зависит от поэтому в соотношении (7.14) эта зависимость записана как Сумма в числителе правой части берется по всем кластерам от самых маленьких с до самых больших, с числом частиц порядка Соображения масштабной инвариантности позволяют найти асимптотическую зависимость для

Рассмотрим решетку на пороге протекания. Преобразование подобия с коэффициентом переводит ее в решетку которая также находится на пороге протекания. Вероятность того, что случайно выбранный на решетке узел принадлежит кластеру, состоящему из частиц, равна где среднее число кластеров, содержащих узлов, в расчете на один узел решетки. Преобразование подобия уменьшает гирорадиус кластера с до Из соотношения (7.11) следует, что кластер, содержащий узлов, отображается в кластер, содержащий всего лишь узлов. Следовательно, вероятность можно выразить через вероятность того, что узел, случайно выбранный на решетке принадлежит кластеру, содержащему частиц, который в свою очередь отображается в кластер, содержащий частиц:

Множитель в правой части здесь обусловлен тем, что для каждого узла на решетке существуют узлов на решетке Это означает, что правую часть соотношения (7.15) нужно разделить на так как мы рассматриваем вероятность, приходящуюся на один узел решетки.

Распределение величин кластеров зависит от только через переменную так как наибольший кластер на решетке ограничен и содержит не более узлов. Учитывая это, мы используем для следующую зависимость:

Здесь переходная функция, которая должна стремиться к константе при так как в пределе при распределение кластеров по величине должно стать независимым от размера решетки. Степенная зависимость в формуле (7.16) необходима потому, что величина должна удовлетворять соотношению (7.15). Подставляя выражение (7.16) в формулу (7.15), получаем соотношение

Из соотношения (7.17) мы заключаем, что и распределение кластеров по величине на пороге протекания определяется степенным законом

Показатель зависит от евклидовой размерности решетки. Мы явно указываем в выражении для так как соотношение (7.18) выполняется и для протекания на гиперкубических решетках при При для вывода зависимости необходимо привлекать дополнительные соображения. Подробности см. в работе Аарони [3].

Соотношение (7.16) можно представить в виде

Новая переходная функция здесь определяется выражением Эта зависимость для удобна, когда нам требуется оценить, как различные средние изменяются в зависимости от размеров решетки. Например, средняя величина кластера, определяемая соотношением (7.12), вычисляется следующим образом:

Нормировочный множитель удовлетворяет равенству так как он выражает долю узлов, принадлежащих конечным кластерам. Последнее соотношение возникает потому, что интегральная аппроксимация суммы зависит только от переменной и сходится при нижнем и верхнем пределах. Таким образом, интеграл перестает зависеть от в пределе больших Этот результат показывает, что средняя величина кластера на пороге протекания с увеличением растет медленнее, чем величина наибольшего кластера

Аналогичным образом можно найти и средний радиус гирации конечных кластеров на пороге протекания:

Формула (7.21) означает, что в задаче о перколяции не каждый отрезок может быть выбран за длину стороны решетки, так как величина не пропорциональна (см. [204]).

Изложенные выше соображения характерны для применения идей скейлинга в теории протекания и теории критического поведения при фазовых переходах второго рода. Существенным аспектом этого подхода является самоподобная структура процесса протекания на пороге.

Это самоподобие приводит к степенным зависимостям различных величин. Но не каждый показатель степенного закона можно считать фрактальной размерностью. Многие из возникающих показателей могут быть выражены через фрактальную размерность и (евклидову) пространственную размерность решетки. Соотношения (7.20) и (7.21) могут служить примерами скейлтга конечных масштабов, широко используемого при численном моделировании на пороге протекания для определения критических показателей.

1
Оглавление
email@scask.ru