7.5. Распределение величины кластеров при ...

Рассмотрим теперь распределение размеров кластеров, полученных при критическом значении (на пороге протекания) и представленных на рис. 7.2. Пусть -среднее число кластеров, содержащих узлов, на один узел. Иначе говоря, число кластеров, содержащих узлов, на решетке должно быть по этой оценке равно Следовательно, если мы выбираем узел случайным образом, то с вероятностью, пропорциональной он принадлежит кластеру, состоящему из частиц, поскольку «столкнуться» с таким кластером блуждающая частица может способами. Таким образом, нормированная на один узел вероятность того, что выбранный случайным образом узел принадлежит кластеру, состоящему из узлов, определяется выражением

Нормирующий множитель есть просто доля узлов решетки, принадлежащих конечным кластерам. Средняя масса кластера есть

величина

При численном моделировании на конечной решетке со стороной нам необходимо установить, что зависит от поэтому в соотношении (7.14) эта зависимость записана как Сумма в числителе правой части берется по всем кластерам от самых маленьких с до самых больших, с числом частиц порядка Соображения масштабной инвариантности позволяют найти асимптотическую зависимость для

Рассмотрим решетку на пороге протекания. Преобразование подобия с коэффициентом переводит ее в решетку которая также находится на пороге протекания. Вероятность того, что случайно выбранный на решетке узел принадлежит кластеру, состоящему из частиц, равна где среднее число кластеров, содержащих узлов, в расчете на один узел решетки. Преобразование подобия уменьшает гирорадиус кластера с до Из соотношения (7.11) следует, что кластер, содержащий узлов, отображается в кластер, содержащий всего лишь узлов. Следовательно, вероятность можно выразить через вероятность того, что узел, случайно выбранный на решетке принадлежит кластеру, содержащему частиц, который в свою очередь отображается в кластер, содержащий частиц:

Множитель в правой части здесь обусловлен тем, что для каждого узла на решетке существуют узлов на решетке Это означает, что правую часть соотношения (7.15) нужно разделить на так как мы рассматриваем вероятность, приходящуюся на один узел решетки.

Распределение величин кластеров зависит от только через переменную так как наибольший кластер на решетке ограничен и содержит не более узлов. Учитывая это, мы используем для следующую зависимость:

Здесь переходная функция, которая должна стремиться к константе при так как в пределе при распределение кластеров по величине должно стать независимым от размера решетки. Степенная зависимость в формуле (7.16) необходима потому, что величина должна удовлетворять соотношению (7.15). Подставляя выражение (7.16) в формулу (7.15), получаем соотношение

Из соотношения (7.17) мы заключаем, что и распределение кластеров по величине на пороге протекания определяется степенным законом

Показатель зависит от евклидовой размерности решетки. Мы явно указываем в выражении для так как соотношение (7.18) выполняется и для протекания на гиперкубических решетках при При для вывода зависимости необходимо привлекать дополнительные соображения. Подробности см. в работе Аарони [3].

Соотношение (7.16) можно представить в виде

Новая переходная функция здесь определяется выражением Эта зависимость для удобна, когда нам требуется оценить, как различные средние изменяются в зависимости от размеров решетки. Например, средняя величина кластера, определяемая соотношением (7.12), вычисляется следующим образом:

Нормировочный множитель удовлетворяет равенству так как он выражает долю узлов, принадлежащих конечным кластерам. Последнее соотношение возникает потому, что интегральная аппроксимация суммы зависит только от переменной и сходится при нижнем и верхнем пределах. Таким образом, интеграл перестает зависеть от в пределе больших Этот результат показывает, что средняя величина кластера на пороге протекания с увеличением растет медленнее, чем величина наибольшего кластера

Аналогичным образом можно найти и средний радиус гирации конечных кластеров на пороге протекания:

Формула (7.21) означает, что в задаче о перколяции не каждый отрезок может быть выбран за длину стороны решетки, так как величина не пропорциональна (см. [204]).

Изложенные выше соображения характерны для применения идей скейлинга в теории протекания и теории критического поведения при фазовых переходах второго рода. Существенным аспектом этого подхода является самоподобная структура процесса протекания на пороге.

Это самоподобие приводит к степенным зависимостям различных величин. Но не каждый показатель степенного закона можно считать фрактальной размерностью. Многие из возникающих показателей могут быть выражены через фрактальную размерность и (евклидову) пространственную размерность решетки. Соотношения (7.20) и (7.21) могут служить примерами скейлтга конечных масштабов, широко используемого при численном моделировании на пороге протекания для определения критических показателей.