Главная > Фракталы (Федер Е.)
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

Глава 5. Канторовские множества

Мы уже ввели несколько размерностей: размерность Хаусдорфа-Безиковича, топологическую размерность, евклидову размерность, размерность подобия, скейлинговую размерность, размерность кластера и клеточную размерность. Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам.

5.1. Триадное канторовское множество

Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале Как показано на рис. 5.1, затравкой служит единичный отрезок [0, 1], а образующий элемент делит его на три равные части и отбрасывает открытую среднюю часть, оставляя ее концевые точки. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся подынтервалов и т. д. Такая процедура очень быстро приводит к очень коротким отрезкам. Поскольку наша графика имеет конечное разрешение, мы обнаруживаем, что 6-е поколение отрезков неотличимо от 5-го. После бесконечного числа поколений оставшееся бесконечное множество точек рассеяно по единичному отрезку. Это множество называется канторовской пылью [133].

Вычислим теперь для канторовского множества различные размерности, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с размерности Хаусдорфа - Безиковича, определяемой выражением поколении канторовское множество состоит из отрезков длиной Если попытаться покрыть множество прямолинейными отрезками длины и расположить их аккуратно, то нам удастся покрыть все отрезки поколения и, следовательно, все точки канторовского множества. Мера, определяемая формулой (2.3), равна величине

Рис. 5.1. Построение триадного канторовского множества. Затравка - единичный отрезок [0,1]. Образующий элемент удаляет среднюю треть. На рисунке показаны первые пять поколений.

Эта мера расходится или стремится к нулю при если только мы не выберем Топологическая размерность канторовского множества определяется величиной Так как мы заключаем, что триадное канторовское множество есть фрактальное множество с фрактальной размерностью

Описываемое здесь канторовское множество не вполне самоподобно. Однако мы можем расширить его с помощью процедуры экстраполяции, охватывающей область [0, 3] двумя канторовскими множествами, которые покрывают интервалы [0, 1] и [2, 3]. Повторяя этот процесс неограниченное число раз, мы можем построить самоподобное множество на полупрямой Если изменить масштаб в раза, то, чтобы покрыть исходное множество, нам понадобится таких множеств. Из определения (2.10) размерности подобия получаем

Размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью триадного канторовского множества.

Формула (5.2) позволяет тривиальным образом построить канторовское множество с любой заданной размерностью из интервала . В качестве примера на рис. 5.2 показаны два различных построения, которые оба приводят к одной и той же размерности Внешне два множества «выглядят» по-разному, хотя они оба имеют одну и ту же фрактальную размерность: у них различная лакунарность [134].

Размерность кластера, или размерность массы, мы получим, если рассмотрим экстраполированный вариант канторовского множества. Начнем с «мономеров» длиной и образуем «кластер» из мономеров длиной после чего все повторим сначала, приняв димер за новый исходный мономер, и т. д.

Рис. 5.2. Два построения канторовского множества с Вверху. внизу.

Кластер из мономеров имеет диаметр Следовательно, фрактальная размерность этого кластера, определяемая соотношением (3.1), равна

Размерность кластера совпадает с фрактальной размерностью этого канторовского множества.

Мы заключаем, что для весьма простого триадного канторовского множества все определенные выше различные размерности совпадают.

1
Оглавление
email@scask.ru