Глава 5. Канторовские множества

Мы уже ввели несколько размерностей: размерность Хаусдорфа-Безиковича, топологическую размерность, евклидову размерность, размерность подобия, скейлинговую размерность, размерность кластера и клеточную размерность. Канторовские множества позволяют проиллюстрировать достаточно много важных и интересных специфических особенностей, присущих фракталам.

5.1. Триадное канторовское множество

Очень простое построение, предложенное Кантором, позволяет получать фрактальные множества с фрактальной размерностью в интервале Как показано на рис. 5.1, затравкой служит единичный отрезок [0, 1], а образующий элемент делит его на три равные части и отбрасывает открытую среднюю часть, оставляя ее концевые точки. Затем образующий элемент применяется к каждому из двух оставшихся подынтервалов и т. д. Такая процедура очень быстро приводит к очень коротким отрезкам. Поскольку наша графика имеет конечное разрешение, мы обнаруживаем, что 6-е поколение отрезков неотличимо от 5-го. После бесконечного числа поколений оставшееся бесконечное множество точек рассеяно по единичному отрезку. Это множество называется канторовской пылью [133].

Вычислим теперь для канторовского множества различные размерности, введенные нами в предыдущих разделах.

Начнем с размерности Хаусдорфа - Безиковича, определяемой выражением поколении канторовское множество состоит из отрезков длиной Если попытаться покрыть множество прямолинейными отрезками длины и расположить их аккуратно, то нам удастся покрыть все отрезки поколения и, следовательно, все точки канторовского множества. Мера, определяемая формулой (2.3), равна величине

Рис. 5.1. Построение триадного канторовского множества. Затравка - единичный отрезок [0,1]. Образующий элемент удаляет среднюю треть. На рисунке показаны первые пять поколений.

Эта мера расходится или стремится к нулю при если только мы не выберем Топологическая размерность канторовского множества определяется величиной Так как мы заключаем, что триадное канторовское множество есть фрактальное множество с фрактальной размерностью

Описываемое здесь канторовское множество не вполне самоподобно. Однако мы можем расширить его с помощью процедуры экстраполяции, охватывающей область [0, 3] двумя канторовскими множествами, которые покрывают интервалы [0, 1] и [2, 3]. Повторяя этот процесс неограниченное число раз, мы можем построить самоподобное множество на полупрямой Если изменить масштаб в раза, то, чтобы покрыть исходное множество, нам понадобится таких множеств. Из определения (2.10) размерности подобия получаем

Размерность подобия совпадает с фрактальной размерностью триадного канторовского множества.

Формула (5.2) позволяет тривиальным образом построить канторовское множество с любой заданной размерностью из интервала . В качестве примера на рис. 5.2 показаны два различных построения, которые оба приводят к одной и той же размерности Внешне два множества «выглядят» по-разному, хотя они оба имеют одну и ту же фрактальную размерность: у них различная лакунарность [134].

Размерность кластера, или размерность массы, мы получим, если рассмотрим экстраполированный вариант канторовского множества. Начнем с «мономеров» длиной и образуем «кластер» из мономеров длиной после чего все повторим сначала, приняв димер за новый исходный мономер, и т. д.

Рис. 5.2. Два построения канторовского множества с Вверху. внизу.

Кластер из мономеров имеет диаметр Следовательно, фрактальная размерность этого кластера, определяемая соотношением (3.1), равна

Размерность кластера совпадает с фрактальной размерностью этого канторовского множества.

Мы заключаем, что для весьма простого триадного канторовского множества все определенные выше различные размерности совпадают.