9.2. Одномерное случайное блуждание

Рассмотрим частицу, которая движется вдоль прямой линии - назовем ее осью перепрыгивая на расстояние или — каждые секунд. При моделировании диффузии отождествляется с микроскопической длиной (скажем, с диаметром частицы), а микроскопическим временем (временем столкновений).

Пусть не фиксированная величина. Зададим ее гауссовым, или нормальным, распределением вероятностей

Процесс случайного блуждания в атомарных масштабах можно описать следующим образом. На каждом интервале длительностью длина шага выбирается случайным образом и вероятность того, что заключено между и равна Последовательность таких чисел (длин шагов) является набором независимых гауссовых случайных чисел. Дисперсия этого набора равна

Параметр -это коэффициент диффузии.

Рис. 9.1. Последовательность независимых гауссовых случайных чисел с нулевым средним значением и единичной дисперсией: -независимые случайные шаги «частицы»; -координата частицы. Время измерено в единицах «атомарного» интервала времени между шагами

Как следует из равенства (9.2), коэффициент диффузии подчиняется соотношению Эйнштейна:

где - средний квадрат длины шага. Соотношение (9.3) справедливо при довольно общих предположениях, даже когда скачки разделены неодинаковыми интервалами времени и распредение вероятностей длины скачка дискретно, непрерывно или имеет довольно произвольный вид.

Перейдем с стандартному гауссову случайному процессу, заменив на так что вновь определенное имеет нулевое среднее значение и дисперсию На рис. 9.1, а показана последовательность стандартных гауссовых случайных чисел. Последовательность определяет последовательность длин шагов случайного блуждания, а координата частицы на оси равна

Кривая на рис. показывает как координата частицы меняется со временем. Впрочем, заметим, что в действительности эта кривая - дискретный набор точек, но мы просто не потрудились отрывать карандаш

от бумаги между точками. В пределе произвольно малой длительности шага набор случайных чисел переходит в случайную функцию График случайной функции выглядит подобно кривой на рис. 9.1,б и его называют диаграммой случайной функции Мандельброт называет эту диаграмму функцией Брауна и обозначает ее