4.3. Вязкие пальцы в двумерных пористых средах

Течение жидкости в пористой среде описывается теми же уравнениями (4.1) и (4.3), что и течение в ячейке Хеле-Шоу. Единственное отличие состоит в том, что параметр к имеет смысл эффективной проницаемости среды, а не определяется выражением (4.2). Однако эксперименты показывают, что динамика образования вязких пальцев в пористой среде и в ячейке Хеле-Шоу существенно отличается. На рис. 4.7 показано, как происходит вытеснение сильно вязкой жидкости (эпоксидной смолы)

Рис. 4.7. (см. скан) Пальцы воздуха (черный цвет), вытесняющие жидкую эпоксидную смолу в двумерной пористой среде, состоящей из стеклянных шариков диаметром которые уложены в один слой между двумя стеклянными пластинами диаметром 40 см. Центр инжекции расположен рядом с центром структуры. после начала инжекции; б) Капиллярное число

воздухом при средних капиллярных числах в двумерной пористой среде, состоящей из случайно упакованного одинарного слоя стеклянных шаров, заключенных между двумя стеклянными пластинами.

Наблюдавшиеся структуры с образованием вязких пальцев анализировались следующим образом. Изображения дискретизировались с помощью цифровой записи, и каждая клетка, содержавшая воздушную

Рис. 4.8. Нормированный объем структуры с вязкими пальцами как функция приведенного радиуса для структур, представленных на предыдущем рисунке, см; б) см; в) см; г) см; д) другой эксперимент с воздухом, вытесняющим глицерин в двумерной пористой среде, состоящей из стеклянных шариков диаметром которые уложены в один слой между двумя стеклянными пластинами диаметром 40 см с см при

часть (на рисунке воздух изображен черным цветом), принималась за «мономер», после чего измерялось расстояние от данного мономера до центра инжекции. Затем в духе соотношения «число частиц-радиус» (3.1) было подсчитано число клеток с воздухом внутри окружности радиуса с центром в точке инжекции. Общее число клеток с воздухом равно а радиус гирации для структуры с вязкими пальцами есть величина На рис. 4.8 показана зависимость величины от для каждой из структур с вязкими пальцами, изображенных на рис. 4.7, и для аналогичных экспериментов, в которых в качестве сильно вязкой жидкости использовался глицерин.

Самое замечательное в полученных результатах состоит в том, что данные всех экспериментов, т.е. данные для различных жидкостей и различных моментов времени для любой данной жидкости, ложатся на одну кривую. Прямая на рис. 4.8 убедительно свидетельствует о существовании соотношения число частиц-радиус вида

Это соотношение есть не что иное, как формула (3.1), модифицированная введением переходной функции постоянной при и стремящейся при в силу чего при Экспериментальным данным на рис. 4.7 лучше всего соответствует

фрактальная размерность структур с вязкими пальцами в двумерных пористых средах.

Почему экспериментальные данные для ячейки Хеле-Шоу при сравнимых капиллярных числах на рис. 4.5, а и данными на рис. 4.7 столь заметно различаются? В обоих случаях вязкость вытесняющей жидкости пренебрежимо мала, а динамика течения сильно вязкой жидкости описывается уравнением Лапласа. Важное различие между ячейкой Хеле-Шоу и ячейкой с пористой средой заключается в граничном условии. В случае ячейки Хеле-Шоу ширина зазора между пластинами является единственным параметром размерности длины помимо диаметра круглой ячейки, входящим в задачу. В случае двумерной пористой среды, т. е. круглой ячейки, состоящей из одного слоя стеклянных шаров, характерный размер поры также равен и поэтому задача о течении жидкости характеризуется по всем пространственным направлениям «микроскопическим» масштабом. Таким образом, хотя средняя скорость течения жидкости определяется уравнением (4.1), которое в случае пористой среды называется уравнением Дарси, и условием неразрывности (4.3), в силу чего для давления возникает уравнение Лапласа, в действительности задачи совершенно различны из-за различия граничных условий. В случае ячейки Хеле-Шоу характерный масштаб длины в плоскости ячейки определяется капиллярными силами (в действительности-критической длиной волны в то время как в пористой среде масштаб длины всегда определяется величиной пор.

Таким образом, динамика фронта вытеснения совершенно различна. В случае ячейки Хеле-Шоу эта динамика зависит только от распределения давления и граничных условий на двух пластинах. В пористой среде давление также всюду определяется уравнением Лапласа (4.3). Однако «решение» о вытеснении жидкости из данной поры на поверхности раздела принимается не на основе абсолютного значения разности давления между воздухом и жидкостью, а скорее на основе сравнения давления в воздухе и капиллярного давления в горле данной поры, так как в узкую пору воздуху проникнуть труднее. Последнее обстоятельство привносит в задачу элемент случайности, так как ширина пор в горле - случайная величина с некоторым распределением. Таким образом, динамика фронта образования вязких пальцев в пористых средах имеет две главные составляющие: глобальное распределение давления, удовлетворяющее уравнению Дарси и, следовательно, уравнению Лапласа, и локальные флуктуации в геометрии пор. Рост фрактальной структуры является результатом совместного действия этих двух факторов.

В том, что для получения фрактальных вязких пальцев требуется случайность на уровне геометрии пор, нетрудно убедиться, взглянув на рис. 4.9: изображенная на нем структура с вязкими пальцами заведомо не фрактальна. и Уилкинсон [36] показали с помощью натурных и численных экспериментов, что случайность в структуре пор необходима для образования фрактальных вязких пальцев.

Рис. 4.9. Образование вязких пальцев при вытеснении воздухом глицерина в двумерной среде, образованной расставленными в узлах квадратной решетки цилиндрами диаметром заключенными между двумя пластинами из пластика. Капиллярное число

Если от вытеснения жидкости при высоких капиллярных числах перейти к вытеснению жидкости при очень низких капиллярных числах то наблюдаются фрактальные структуры, характерные для инвазивной перколяции, или перколяции с вытеснением (см. разд. 7.8).

Химическое растворение пористой среды. Даккор [42] исследовал химическое растворение пористой среды протекающей через нее агрессивной

Рис. 4.10. Фотографии двумерных структур, возникающих при химическом растворении пористого пластика радиальным потоком воды при различных скоростях инжекции: а) [42].

жидкостью. Он поместил пластину толщиной чистого гипса между двумя прозрачными пластинами. Дистиллированная вода инжектировалась в центре диска, тем самым в пористом гипсе создавалось некоторое течение. Гипс слегка растворим в дистиллированной воде, поэтому текущая вода постепенно проделала в нем некоторую систему ходов. Даккор, используя сплав Вуда, сделал отпечаток этих ходов и растворил остальной гипс. Полученные им структуры при нескольких скоростях течения показаны на рис. 4.10.

Структуры растворения при высоких скоростях течения очень напоминают структуры с вязкими пальцами, наблюдаемые при течениях в двумерной вязкой среде (рис. 4.7) и при моделировании ОДА (рис. 4.3). Даккор предложил модификацию модели ОДА, учитывающую перенос растворенного материала. Численные эксперименты на основе этой модели очень точно воспроизводят экспериментально наблюдаемые структуры. При высоких скоростях течения структуры растворения по существу являются структурами ОДА и имеют фрактальную размерность Даккор и Ленорман [43] использовали этот метод для исследования трехмерных структур растворения, образуемых течением в пористых средах.