Глава 1. Введение

Геометрия встречающихся в природе объектов самых различных размеров - от атомных масштабов до Вселенной - занимает центральное место в моделях, которые мы строим, чтобы «понять» природу. Геометрия траекторий частиц; линий тока в гидродинамике, волн, обводов корабельных корпусов и береговых линий; ландшафтов, гор, островов, рек, ледников и отложений; зерен в скалистых породах, металлах и композитных материалах; растений, насекомых и живых клеток, а также геометрическая структура кристаллов, молекул химических веществ и, в частности, протеинов, - короче говоря, геометрия природы занимает центральное место в различных областях естествознания, и поэтому мы склонны считать геометрические аспекты чем-то само собой разумеющимся. Каждая область стремилась развить свои приспособленные к ее потребностям понятия (например, такие, как морфология, четырехмерное пространство, текстура, конформация и дислокация), интуитивно используемые учеными, работающими именно в этой области. По традиции основой интуитивного понимания геометрии природы служили евклидовы прямые, окружности, сферы и тетраэдры.

Математики разработали и математические понятия, выходившие за рамки традиционной геометрии, но, к сожалению, в прошлом эти понятия не привлекли к себе должного внимания со стороны представителей естественных наук из-за весьма абстрактного и «педантичного» изложения и из-за предостережений относительно «опасности», связанной с использованием такого рода нетрадиционных геометрических представлений.

Своими яркими и фундаментальными работами Бенуа Б. Мандельброт пробудил всеобщий интерес к фрактальной геометрии - понятию, введенному самим Мандельбротом. В частности, он поведал миру об объектах, названных им фракталами, избрав для этого весьма необычную и весьма стимулирующую читателя к самостоятельной творческой работе форму изложения. Книга Бенуа Б. Мандельброта «Фрактальная геометрия природы» (The Fractal Geometry of Nature, 1982) - общепризнанный стандартный справочник по фракталам и содержит как элементарные понятия, так и необычайно широкий круг новых и отнюдь не элементарных идей (как, например, мультифракталы), находящихся сейчас в центре внимания тех, кто занимается геометрией фракталов. Синтетические фрактальные пейзажи выглядят настолько

правдоподобно, что большинство людей принимают их за естественные. Появление в последние годы недорогих компьютеров и компьютерной графики привело к исследованию нетрадиционных геометрических объектов во многих областях естественных наук.

Мандельброт написал огромное количество научных работ, посвященных геометрии явлений, наблюдаемых во многих областях человеческой деятельности. Он исследовал фрактальную геометрию изменений цен и распределений заработной платы, статистики ошибок при вызовах на телефонных станциях, частот слов в печатных текстах, различных математических объектов и многого другого. Мандельброт написал три книги о фрактальной геометрии, сделавшие более доступными его специальные работы и вдохновившие многих на применение фрактальной геометрии в области собственных исследований:

1. Фрактальные объекты, форма, случай и размерность [131].

2. Фракталы: форма, случай и размерность [133].

3. Фрактальная геометрия природы [134].

Последняя книга представляет собой современное издание с весьма впечатляющими иллюстрациями, ставшими возможными благодаря существенно возросшим возможностям компьютерной графики.

Понятие «фракталы» захватило воображение ученых, работающих во многих областях науки, и работы, в которых фракталы обсуждаются с самых различных позиций, появляются теперь почти ежедневно. Книги Мандельброта замечательны в нескольких отношениях. И прежде всего - они междисциплинарны: автор рассматривает геометрию деревьев, русел рек, легких, а также изменения уровней водной поверхности, турбулентность, экономику, частоты появления слов и многое-многое другое. Все эти, казалось бы, разнородные вопросы Мандельброт связывает со своими геометрическими представлениями. В своих книгах он умышленно избегает введений и заключений, тем самым подчеркивая свое глубокое убеждение в том, что по мерс расширения работ в области фрактальной геометрии его идеи позволят все более глубоко постигать самую суть геометрии природы. Он предлагает лишь пробное определение понятия «фрактал» и тут же поспешно заявляет, что предложенное им определение отнюдь не является окончательным! Более того, впоследствии он отказывается от своего определения. В своих книгах Мандельброт пытается убедить читателя в том, что фрактальная геометрия важна для описания природы, но ускользает от читателя, когда тот пытается проследить за деталями аргументации автора. Математические доказательства перемежаются на страницах книг Мандельброта с

анекдотами и историческими сведениями. Различнейшие вопросы перемешаны в его книгах так, что разделить их практически невозможно. Но, вооружившись терпением, любознательный читатель найдет в книгах Мандельброта необычайно широкий спектр замечательных идей, глубоких замечаний и сможет почерпнуть в них подлинное вдохновение - эти книги поистине замечательны!

Наиболее сильное впечатление производят цветные иллюстрации. На них изображены фрактальная «планета», восходящая над горизонтом своей луны, горы, долины и острова, которых никогда не было. Эти иллюстрации, выполненные Р. Ф. Фоссом, получены с помощью алгоритмов, обеспечивающих фрактальную природу пейзажей. Все пейзажи выглядят очень естественно, по-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности. Каким образом «нарисованы» эти поразительные картины, в тексте не говорится, но Мандельброт [131] замечает по их поводу следующее:

«Чтобы предметы отбрасывали тени, необходимо проявить недюжинную изобретательность. Тома понадобились бы, чтобы описать все подробности. Кроме того, используемый алгоритм сильно зависит от того, на каком компьютере он реализуется: повторить проделанную работу можно только на таком же компьютере, который был использован нами» (см. цветную вклейку). Фосс [213, 214] недавно описал более или менее подробно те идеи, которые были заложены им в программы, позволившие создать великолепные пейзажи. Компьютерная графика, используемая при создании красивых фрактальных объектов, частично описана в Трудах секции компьютерной графики Ассоциации вычислительной техники [57]. В них обращают на себя внимание замечательные фрактальные деревья, построенные Оппенгеймером [167].

В новой книге Пейтгена и Рихтера «Красота фракталов» [173] собраны действительно красивые картинки, использующие фрактальную природу итерационных отображений и решений дифференциальных уравнений. Пейтген является также редактором издания «Искусство фракталов. Введение в компьютерную графику» [172].

Чтобы понять, как создаются фрактальные пейзажи, мы построили несколько таких пейзажей, используя описанные в гл. 13 методы. Всякий, кто сталкивается с необходимостью выполнения столь сложных вычислений, понимает, как необходимы различного рода приемы и ухищрения, позволяющие сократить объем вычислений, и почему Мандельброт обсуждает множество различных возможных схем. «Я рассмотрел и сравнил десятки стационарных алгоритмов и надеюсь когда-нибудь опубликовать результаты сравнения» [134]. Мы обнаружили, что простые модели пейзажей и береговых линий могут быть получены быстро даже при весьма ограниченных вычислительных возможностях. Мы многому научились, пытаясь самостоятельно «рисовать» компьютерные пейзажи, и рекомендуем читателю испробовать свои силы на этом поприще.

Чтобы заложить основу для различных применений фракталов к

экспериментальным результатам, начнем гл. 2 с рассмотрения простых фракталов и фрактальной размерности. Там же мы обсудим связанное с фрактальной размерностью понятие скейлинговой размерности, или размерности подобия.

В гл. 3 рассмотрим фрактальные свойства кластеров и приведем соответствующие экспериментальные результаты. Показано, что агрегация частиц приводит к возникновению фрактальных кластеров. Многочисленные натурные и численные эксперименты, проведенные в последнее время, позволили выяснить свойства кинетики агрегации, гелеобразования и осаждения. При исследовании этих явлений применялись различные экспериментальные методы, и использование фрактальной геометрии позволило осмыслить большие массивы экспериментальных данных. Один из последних на эту тему - обзор Микина [156].

Вытеснение жидкости в пористой среде обычно приводит к формированию фронта вытеснения. Если одна жидкость вытесняется другой, менее вязкой жидкостью, то фронт вытеснения чрезвычайно неустойчив. Такие фронты были широко исследованы и экспериментально, и теоретически. В настоящее время ясно, что с математической точки зрения вытеснение жидкости менее вязкой жидкостью или газом аналогично кинетике процесса агрегации, о котором заведомо известно, что он приводит к фрактальным геометриям. Теоретические основы вмтеснения жидкости и экспериментальные результаты приведены в гл. 4.

Покинув прочную основу традиционной геометрии, мы оказываемся в зоопарке фрактальных объектов во всем их разнообразии. В качестве пропедевтики мы рассматриваем в гл. 5 простой пример канторовского множества. В гл. 6 обсудим физические явления, происходящие на фракталах, и распределения, сосредоточенные на фракталах, и введем в наши простые примеры новые понятия фрактальных мер и мультифракталов. Затем воспользуемся теми же идеями при анализе некоторых недавних экспериментальных результатов по тепловой конвекции и динамике образования вязких пальцев.

Случайность - существенная составная часть большинства происходящих в природе явлений. В гл. 7 мы рассмотрим процессы перколяции, которые могут служить особенно хорошо понятными примерами случайных фракталов. Сначала сосредоточим внимание на фрактальной геометрии процессов перколяции, а затем перейдем к обсуждению экспериментальных результатов, полученных при вытеснении жидкости.

Многие экспериментальные сигналы обладают фрактальной статистикой, анализ которой может быть произведен с помощью эмпирического -анализа, предложенного Мандельбротом и Уоллисом [142] на основе загадочных наблюдений Херста. Этот метод мы излагаем в гл. 8. Как показывает -анализ, экспериментальные сигналы, получаемые при наблюдении многих природных явлений, имеют фрактальную зависимость от времени. Более подробное обсуждение случайных блужданий в гл. 9 послужит основой для понимания фрактальных временных рядов и введением в понятие фрактального броуновского движения.

Анализ фрактальной структуры временных сигналов показывает, что необходимо различать фракталы самоаффинные и самоподобные. Недавно выяснилось, что для получения осмысленных размерностей в случае самоаффинных фракталов необходимо соблюдать величайшую осторожность. Некоторые из трудностей, возникающих при этом, обсуждаются в гл. 10. Анализ «стратегии смелой игры» приводит к интересному примеру самоаффинной кривой, имеющему непосредственное отношение к рассмотренным в гл. 6 фрактальным мерам. Применение -статистики к самоаффинному временному ряду мы рассмотрим в гл. 11 на примере статистики высоты океанских волн.

Отношению периметр-площадь для фрактальных объектов посвящена гл. 12. Приводимые в этой главе сведения позволяют понять наблюдение Лавджоя [116], согласно которому поверхность облаков имеет фрактальную размерность Вычисленная из «первых принципов» Хентшелем и Прокаччей [88] фрактальная размерность для облаков на основе модели турбулентной диффузии оказалась заключенной в диапазоне от 2,37 до 2,41. Некоторые наблюдения относительно соотношения между длиной реки и площадью бассейна реки указывают на фрактальный характер речных систем. Этому вопросу посвящается заключительный раздел гл. 12.

Фрактальным поверхностям посвящена гл. 13. В основу рассмотрения положено соотношение между фрактальными кривыми и поверхностями. Определяя и используя случайные фрактальные поверхности переноса, нам удалось построить фрактальные прибрежные ландшафты и береговые линии. Использованный Фоссом метод случайного сложения служит эффективным алгоритмом построения фрактальных поверхностей с заранее заданными свойствами. Мы приводим несколько примеров таких поверхностей.

Недавняя дискуссия о фрактальных размерностях на основе топографических измерений поверхности отражена в гл. 14. Там же приведены и аналогичные «наблюдения» фрактальных размерностей различных объектов, встречающихся вокруг. Недавно было показано, что поверхности порошков и других пористых сред фрактальны. Многие из этих результатов мы также обсуждаем. Фрактальная природа поверхностей должна иметь важные следствия для катализа и для свойств пористых сред. Не вдаваясь в подробности, можно утверждать, что фрактальная размерность пористого вещества является свойством материала и в свою очередь должна определять многие его свойства.

Многие очень интересные и важные вопросы не вошли в нашу книгу. Например, фракталы естественно возникают в динамических системах, и мы настоятельно рекомендуем читателю ознакомиться с этим кругом вопросов по одной из многих книг, имеющихся ныне. Для начального ознакомления с предметом очень подходит книга Пейтгена и Рихтера [173]. Другая область очень активных исследований - различные процессы, происходящие во фрактальных геометриях. Например, электропроводность, шумы и механические свойства перколяционных систем

являются важными примерами мультифрактального поведения. Заслуживает дальнейшего обсуждения столь важная тема, как случайное блуждание по многомерным фракталам или с фрактальными шагами. Список тем можно было бы легко продолжить. Почему бы не рассмотреть фрактальную структуру турбулентности, образования галактик и распределения трещин в металле или в горной породе? Почему исследовательская деятельность в этой области не ведется широко и во все возрастающих масштабах? Много интересных вопросов, связанных с фракталами, обсуждалось на конференциях, труды которых вышли под редакцией Фэмили и Ландау [59]; Пинна и Шелторпа [181]; Стэнли и Островского [203]; Пьетронеро и Тозатти [177]; Пинна и Ристе [180]. При выборе тем, затронутых в нашей книге, мы руководствовались главным образом интересами наших исследований, а также потребностями и запросами наших студентов. Предмет исследований изменяется весьма быстро, и сообщения об интересных результатах и приложениях публикуются ежедневно. Кроме того, многие вопросы были рассмотрены в книгах Мандельброта, и мы даже не стремились упоминать о них. Его книги и поныне остаются основными справочными руководствами по фракталам, и читатель данной книги найдет в них много новых идей, заслуживающих внимания.