6.11. ОДА и гармонические меры

Рассмотрим кластер, образовавшийся в результате процесса ОДА (см. рис. 3.3). Как лучше всего описать поверхность или периметр таких фрактальных структур? Один из методов количественного описания таких поверхностей связан с гармонической мерой. Эта (вероятностная) мера определяется (относительно данного кластера) как вероятность того, что совершающая случайное блуждание частица,

Рис. 6.12. Результат моделирования, в котором 106 частиц, совершающих случайные блуждания, были использованы для зондирования двумерного кластера, полученного с помощью внерешеточной ОДА. После того как частица соприкасается с кластером, ее удаляют, и новая частица начинает случайное блуждание из случайно выбранной точки на окружности, ограничивающей кластер извне, а) кластер из 50000 частиц, полученный с помощью места, в которых находятся частицы, входившие в соприкосновение со случайно блуждающими частицами не менее 1 раза, раз раз [159].

приближаясь к кластеру из бесконечности, впервые достигнет границы кластера в точке, расположенной между точками

На практике гармоническую меру оценивают с помощью численного моделирования. Сначала кластер, возникающий в результате ОДА, выращивают с помощью алгоритма Уиттена - Сандера, когда же число частиц в кластере станет равным а диаметр кластера достигнет рост останавливают. Кластер, получающийся в результате ОДА и представленный на рис. 6.12, а, типичен. В нем нет петель, а число узлов на периметре, т. е. число возможных точек роста, пропорционально числу частиц в кластере. Оба числа изменяются по степенному закону в зависимости от радиуса гирации или диаметра кластера:

Фрактальная размерность кластеров ОДА в двумерном случае есть величина Возможные точки роста на периметре кластера ОДА перенумерованы индексом

Для данного кластера ОДА гармоническая мера оценивается с помощью дополнительного численного моделирования, в ходе которого поверхность кластера ОДА зондируется большим числом случайно блуждающих частиц. После того как частица входит в соприкосновение с кластером, ее удаляют, и из случайным образом выбранной точки на окружности, описанной вокруг кластера, выпускают новую частицу, также совершающую случайные блуждания. Вероятность того, что случайно блуждающая частица соприкоснется с узлом на периметре, по оценке равна где число контактов случайно блуждающих частиц с узлом периметра. Набор вероятностей

содержит приращения гармонической меры при разрешении , соответствующем диаметру диффундирующих частиц. Недавние работы по гармонической мере выполнили Микин [155, 156] и Наякава и др. [84].

Спектр фрактальных размерностей для гармонической меры вычисляется, как в разд. 6.7. Необходима, однако, небольшая модификация, связанная с тем, что теперь мы используем частицы фиксированного диаметра 8 и исследуем рост диаметра кластера. Соотношение (6.33) принимает вид

Макаров [121] показал, что информационная размерность равна единице для гармонической меры на границе любой связной области в двух измерениях. При других значениях для определения информационной размерности необходимо проводить численное моделирование. Вершины выступов имеют наибольшие вероятности и дают наибольшие вклады в сумму, стоящую в правой части соотношения (6.64), при .

Рис. -кривая для гармонической меры на кластерах, полученных с помощью ОДА. Наибольший из оцениваемых кластеров содержал 150 частиц [7]; -кривая для гармонической меры, вычисленной для структуры с вязкими пальцами (аналогичной структуре на рис. 4.5), которая наблюдалась в ячейке Хеле-Шоу.

Точные оценки размерностей могут быть получены в этом же диапазоне значений. Но при наибольшие вклады в сумму дают наименьшие вероятности, а оценить их точно очень трудно, так как для случайно блуждающей частицы вероятность проникнуть в самую глубь «фиорда» практически равна нулю. После того как в результате численного моделирования получен показатель массы открывается возможность найти из двух уравнений (6.48) показатель Липшица-Гёльдера а и фрактальную размерность подмножеств на которых гармоническая мера имеет сингулярности с показателем а. Амитрано и др. [7] воспользовались электростатическим вариантом задачи об ОДА и решили получающиеся уравнения численно. Полученная ими кривая представлена на рис. 6.13, а. Заметим, что кривая имеет фрактальную размерность подмножества узлов, образующих носитель гармонической меры; поэтому можно ожидать, что Отрицательные значения на рис. 6.13 не имеют физического смысла и обусловлены усреднением по большому числу результатов вычислений вероятностей (см. также [155, 156]).

Гармоническая мера дает полезную характеристику сложной поверхности фрактальных кластеров. Можно было бы ожидать, что максимум кривой достигается при Но есть просто число узлов на периметре в силу чего Численные эксперименты, выполненные Амитрано и др. (см. рис. 6.13, а), дают Столь низкое значение можно объяснить тем, что в своих экспериментах Амитрано и др. учитывали только очень

малые кластеры, содержащие частиц. Максимальное значение оцененное с помощью анализа гармонической меры для структуры вязких пальцев (рис. 6.13,6), оказывается еще меньше.