9.5. Определение обобщенного броуновского движения

Чтобы глубже понять природу обобщенного броуновского движения, можно реализовать этот процесс с помощью численного моделирования и получить данные, аналогичные представленным на рис. 9.1 для обычного броуновского движения. Мандельброт и Несс [141] определили случайную функцию с нулевым средним примерно следующим образом:

Здесь гамма-функция. Согласно этому определению, значение случайной функции в момент зависит от всех предшествующих (в моменты приращений обычного гауссова случайного процесса с нулевым средним и единичной дисперсией.

Обозначение для случайной переменной становится понятным, если попытаться вычислить интеграл, заменив его суммой. С тем чтобы аппроксимировать интеграл, выберем единицу измерений времени так, чтобы принимало целочисленные значения, и разделим каждый единичный интервал времени на малых временных шагов. Тогда переменную интегрирования можно записать как где Приращение исходного гауссова процесса с независимыми значениями можно теперь записать в виде где теперь дискретная гауссова случайная переменная с нулевым средним и единичной дисперсией. Множитель перед учитывает перенормировку броуновских приращений при уменьшении шага по времени (см. 9.8)). Итак, мы получаем следующее приближенное выражение:

Очевидно, что этот ряд не сходится, а с ним расходится при и интеграл в выражении (9.17). Это грубое определение случайной функции необходимо заменить на более точное, использованное Мандельбротом и Ван Нессом [141]. При заданном значении

Здесь вместо простого степенного ядра, которое присутствовало в определении (9.17), появляется модифицированное ядро:

При это ядро убывает достаточно быстро, чтобы выражение (9.19) подходящим образом определяло случайную функцию

Соотношение (9.19) имеет вид общего уравнения линейного отклика. Здесь независимое гауссово приращение имеющее значение 1 в момент в более поздний момент вносит вклад в смещение фрактальной броуновской частицы который определяется функцией отклика через линейное соотношение.

Необычное свойство фукнции состоит в том, что эта степенная функция не имеет собственного масштаба времени, или единицы времени. Изменяя масштаб времени на множитель мы получаем следующий масштабированный вид соотношения (9.19):

Введем здесь новую переменную интегрирования и воспользуемся следующим статистическим свойством гауссова процесса с независимыми приращениями: Используя тогда соотношение получим выражение

справедливое в статистическом смысле при всех значениях . В частности, можно положить и прийти к выводу, что приращение координаты фрактальной броуновской частицы, равное

статистически пропорционально Отсюда следует, что дисперсия приращений определяется соотношением (9.15) с Конечно, именно этот результат заставляет нас предпочесть для определение (9.19).