7.4. Конечные кластеры при протекании

Величина кластеров при перколяции может варьироваться в широких пределах (см. рис. 7.2). Если вероятность занятия узла опускается ниже то размеры кластеров постепенно убывают. Выше кластеры различной величины существуют в дырах перколяционного кластера. Число узлов в кластере и его линейная протяженность имеют характерные распределения. Порог протекания определяется распределением кластеров по величине, которое не имеет характерного масштаба, т.е. должно быть степенным распределением. Чтобы придать этому распределению более точный смысл, введем радиус гирации (гирорадиус) кластера, состоящего из узлов:

Радиус гирации есть не что иное, как среднеквадратичный радиус кластера, измеряемый от центра тяжести последнего. Рассмотрим конечный кластер, изображенный на рис. 7.10. Если мы поместим этот конечный кластер (при внутрь клетки со стороной то он окажется частью внутреннего перколяционного кластера, простирающегося по всей клетке, и, как и прежде, мы получим зависимость Когда сторона клетки возрастет больше мы увидим края кластера. При достаточно больших весь кластер окажется внутри

Рис. 7.10. Конечное состояние кластера на квадратной решетке при Радиус окружности равен радиусу гирации кластера, содержащего 6700 узлов. Квадрат в центре имеет сторону Наименьший квадрат, вмещающий кластер, имеет сторону

клетки со стороной и все сомнения относительно конечности кластера рассеятся, так как масса кластера уже не будет возрастать с увеличением Эти соображения можно резюмировать следующим образом. Если на кластер, состоящий из узлов, наложить клетку со стороной то масса оказавшаяся внутри клетки, определяется соотношением

Переходная функция здесь просто стремится к постоянной амплитуде А в соотношении (7.5) при Но так как масса при должна перестать зависеть от мы заключаем, что поэтому член стоящий перед/в соотношении (7.10), выпадает.

Рис. 7.11. Зависимость масс кластеров у (числа узлов) от линейных размеров кластеров для квадратной решетки при Диапазоны ошибок указывают одно стандартное отклонение относительно среднего. На врезке показан результат экстраполяции прямой с угловым коэффициентом при где [3].

В результате мы получаем следующее соотношение между радиусом гирации и числом узлов в кластере:

Соотношение было подтверждено многочисленными численными экспериментами. На рис. 7.11 показаны результаты, полученные Гроссманом и Аарони [76] и Аарони [3] относительно зависимости от где -длина стороны наименьшей клетки, вмещающей в себя кластер. Кластеры не имеют характерных размеров, которые не зависели бы от размера самого кластера, и поэтому можно ожидать, что изменяется по степенному закону как Это отчетливо видно на рис. 7.11. На врезке показана экстраполяция «эффективной» фрактальной размерности, вычисленной по части кривой по формуле Полученное значение совпадает в пределе больших кластеров с ожидаемым значением фрактальной размерности . Размерность может быть получена путем подгонки прямой относительно Это свидетельствует о том, что главная поправка в уравнении (7.6) определяется соотношением Интервалы ошибок указывают на разброс значений параметра в «окнах» линейного размера . В свою очередь существование этого разброса подчеркивает, что степенной закон применим "только к средним величинам. Интервалы ошибок имеют фиксированную длину в логарифмической шкале. Это позволяет заключить, что флуктуации значения при заданном значении определяются соотношением

Такие флуктуации называются лакунарностью [3, 134].