6.8. Соотношение между t(q) и f(a)

Последовательность показателей массы связана с кривой общей зависимостью, которая может оказаться полезной в приложениях. Носителем мультифрактальной меры является множество - объединение фрактальных подмножеств с индексом а, выбранным из континуума допустимых значений:

Какие фрактальные размерности описывают меру? Так как полное множество У фрактально с фрактальной размерностью подмножества имеют фрактальную размерность Для фрактальных подмножеств с фрактальной размерностью число отрезков длиной 5, необходимых для того, чтобы покрыть множества с индексом а в интервале от а до равно

Здесь -число множеств от до Для этих множеств мера в ячейке величины 5 степенным образом зависит от 5 (см. формулу (6.2)), что позволяет нам записать соотношение и поэтому меру для множества У, задаваемую соотношением (6.32), можно представить в виде

Интеграл в правой части мажорируется интегралом, в котором подынтегральное выражение заменено его максимальным значением, т. е. таким, для которого

Следовательно, интеграл в выражении (6.44) асимптотически определяется формулой

Величина остается конечной в пределе при если параметр равен показателю массы определяемому как

где решение уравнения (6.45). Таким образом, показатель массы может быть выражен через показатель Липшица-Гёльдера для массы и фрактальную размерность множества-носителя этого показателя.

В то же время, если показатели массы известны, то мы можем определить показатель Липшица-Гёльдера и используя формулы (6.45) и (6.47), и тогда имеем

Эти два уравнения задают параметрическое представление кривой т. е. фрактальной размерности носителя сингулярностей меры с показателем Липшица-Гёльдера . Кривая характеризует меры и эквивалентна последовательности показателей массы Пара уравнений (6.48) задает преобразование Лежандра от независимых переменных к независимым переменным Для простого примера биномиального мультипликативного процесса с показателем массы определяемым соотношением (6.41) (см. рис. 6.6), два уравнения (6.48) позволяют восстановить кривую показанную на рис. 6.4, б.

Максимум кривой достигается при Из уравнения (6.45) следует, что в точке максимума а из уравнения -что так как нами было доказано равенство где фрактальная размерность носителя меры. Различные соотношения между кривой и последовательностью показателей массы сведены в табл. 6.1. Таблица 6.1 (см. скан)

Некоторые значения и пределы последовательности показателей массы и кривой Да) для мультифрактальной меры носителем которой является множество с фрактальной размерностью Здесь порядок момента меры (см. соотношение (6.32)). Наибольшая и наименьшая вероятности, соответствующие ячейкам величины , равны соответственно и энтропия разбиения меры по ячейкам величины . Мера имеет энтропию равную фрактальной размерности множества, на котором сосредоточена мера.