6.7. Последовательность показателей массы t(q)

Фрактальные структуры, наблюдаемые экспериментально, например береговые линии или контуры вязких пальцев (рис. 4.7), могут быть получены с помощью численного моделирования, как показано на рис. 3.3. И экспериментальные наблюдения, и результаты численного моделирования представимы в виде множеств точек образующих кривые или фигуры. При анализе структур таких множеств наиболее широко используется метод подсчета клеток, суть которого ясна из рис. 2.1. При этом методе -мерное пространство наблюдений разбивается на (гипер)кубы с ребром , после чего производится подсчет числа кубов, содержащих по крайней мере одну точку множества Ясно, что такой подсчет дает грубую оценку меры множества У и число не несет в себе никакой информации о структуре этого множества. Например, если береговая линия сильно изрезана и пересекает какую-то клетку раз, то при подсчете эта клетка все равно дает вклад в общее число клеток, покрывающих множество У, равный 1, что не вполне «честно». Существует ли способ, позволяющий придавать клеткам с больший вес, чем клеткам с

Ответ на этот вопрос содержит две основные составляющие: свертывание меры на множестве, о котором шла речь в разд. 6.2 [130], и неравные масштабные множители, рассмотренные в разд. 5.2. Грассбергер [74], Хентшель и Прокачча [87] и Грассбергер и Прокачча [75] воспользовались мерой, позволяющей учесть проблему свертывания. Тесно связанная с ней мера, позволяющая преодолеть также трудности, связанные с неравными масштабными множителями, недавно была предложена Холси и др. [81]. Обе меры с точностью до обозначений совпадают с вероятностными мерами, которые рассматривали Мандельброт [129, 130, 134] и Фосс [213]. Микин [155, 156] ввел близкое по смыслу понятие - набор показателей массы для поверхности.

Пусть множество У, состоящее из точек, имеет в ячейке точек. Эти точки можно рассматривать как выборку, отражающую распределение меры на множестве. Воспользуемся «массой»,

или вероятностъю соответствующей клетке, и построим меру, которую можно записать в виде

Эта мера обладает показателем массы при котором она не обращается в нуль и в бесконечность, когда Показатель массы для данного множества зависит от того, какой порядок момента выбран. Мера характеризуется всей последовательностью показателей определяющих, по какому степенному закону изменяются в зависимости от 5 вероятности Из формулы (6.32) следует, что взвешенное число клеток представимо в виде

а показатель массы определяется выражением

Прежде всего заметим, что, выбирая порядок момента), мы получаем Следовательно, это просто число клеток, образующих покрытие множества, а есть фрактальная размерность множества. Вероятности нормированы: и из формулы (6.34) следует, что

Выбор больших значений например или 100, в соотношении (6.33) способствует повышению вклада ячеек с относительно большими значениями поскольку, если то . Наоборот, выбор способствует повышению вклада ячеек с относительно малыми значениями меры на ячейке. Эти пределы удобнее всего рассматривать, вводя производную определяемую с помощью предела

Пусть -минимальное значение в сумме. Тогда

где штрих у знака суммы указывает на то, что суммирование проводится только по ячейкам Последнее выражение запишем в виде

Здесь мы воспользовались определением (6.19) показателя Липшица-Гёльдера а. Аналогичные рассуждения в пределе при приводят к заключению о том, что минимальное значение а определяется выражением

где - наибольшее значение которое соответствует наименьшему значению а. В следующем разделе мы покажем, что и в общем случае

При получим такое выражение для

оно имеет особый интерес: здесь (информационная) энтропия разбиения меры но ячейкам размера 8. Энтропию разбиения можно записать в виде

Показатель есть также фрактальная размерность множества, на котором сосредоточена мера; он задает степенной закон, по которому изменяются при изменении размера 8 ячейки энтропия (разбиения) меры. Заметим, что энтропия разбиения при разрешении 8 может быть выражена через энтропию меры по формуле (см. также выражение (6.26)).

Типичное поведение последовательности показателей массы можно проиллюстрировать примером меры на отрезке, порожденной мультипликативным биномиальным процессом. Можно показать, что для этого процесса

Число поколений, как и прежде, определяется выражением поэтому, используя соотношение (6.34), получаем

Получающаяся последовательность показателей массы показана на рис. 6.6. При из формулы (6.41) находим, что Это размерность носителя, т.е. единичного отрезка.

Рис. 6.6. Последовательность показателей массы как функция порядка момента для меры биномиального мультипликативного процесса с