9.3. Свойства подобия одномерных случайных блужданий

На практике броуновское движение наблюдается с конечным разрешением, поэтому необходимо рассмотреть случай, когда координата частицы регистрируется через каждый промежуток времени где - некоторое произвольное число. Начнем с наблюдения каждого второго шага, т. е. возьмем (рис. 9.2). Тогда приращение координаты частицы равно сумме двух независимых приращений Совместная вероятность того, что первое приращение заключено в интервале а второе, в интервале выражается через функцию из (9.1) соотношением

Совместная плотность вероятности представляет собой произведение двух плотностей вероятности для каждой из переменных по отдельности, поскольку эти два приращения статистически независимы. Оба приращения должны складываться в полное приращение и интегрирование по всем возможным комбинациям и приводит к следующему выражению для плотности вероятности значений

Итак, мы видим, что при анализе с половинным временным разрешением приращения координаты частицы остаются гауссовым случайным процессом с Однако дисперсия увеличилась: Эти рассуждения легко обобщить на случай интервала между наблюдениями:

Рис. 9.2. Приращение координаты броуновской частицы за время равно сумме двух независимых приращений

Мы приходим к заключению, что какое бы число микроскопических временных шагов ни разделяло моменты наблюдений, приращения координаты частицы всегда составляют гауссов случайный процесс с независимыми значениями и дисперсией

На рис. 9.3 показаны положения частицы, регистрируемые на каждом четвертом шаге процесса из 10000 независимых шагов с нулевым средним и единичной дисперсией, т.е. того же процесса, который изображен на рис. 9.1. Каждое приращение здесь - сумма 4 независимых шагов, и мы видим, что рис. 9.1, а и 9.3, а мало чем отличаются, разве что масштабом приращений, которые стали теперь примерно вдвое больше. Точно так же диаграмма движения на рис. имеет те же статистические свойства, что и диаграмма на рис. но уже с другой ценой деления по оси Однако для любой конечной реализации эти две диаграммы будут иметь совершенно различный локальный вид и вертикальные масштабы не будут отличаться на ожидаемый множитель

Свойство броуновских диаграмм не менять «вида» при изменении разрешения называется масштабной инвариантностью, или симметрией, броуновских диаграмм. Это свойство подобия (скейлинга) броуновского движения можно выразить в явном виде, преобразовав соотношение (9.1) с помощью замены т. е. изменив масштаб времени в раз, а масштаб длины - в раз. В результате такого преобразования получаем следующее соотношение подобия для плотности вероятности:

Множитель обеспечивает правильную нормировку плотности вероятности:

Соотношение (9.8) показывает, что броуновский случайный процесс инвариантен в смысле распределения при преобразовании, которое меняет масштаб времени в раз, а масштаб длины в раз. Как будет обсуждаться ниже, преобразования, которые меняют масштабы времени и расстояния в разных пропорциях, называются аффинными, а зависимости, которые в некотором смысле сохраняют свой вид при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.

Рис. 9.3. Последовательность независимых гауссовых случайных чисел с нулевым средним и единичной дисперсией при «регистрации» на каждом четвертом временном шаге, т.е. через интервалы времени -независимые случайные шаги «частицы»; -координата частицы. Единица измерения времени - «неделимый» период между шагами.

Распределение вероятности координаты частицы находится теми же методами, что и выше, и мы получаем выражение

которое удовлетворяет соотношению подобия

Зная распределение вероятности координаты частицы, можно найти следующие выражения для среднего значения координаты и ее дисперсии:

где координата частицы в некоторый начальный момент а - приращение координаты,

Координата броуновской частицы случайная функция времени Винер [218] следующим образом ввел случайную функцию, описывающую броуновское движение.

Рассмотрим стандартный гауссов случайный процесс с независимыми значениями Пусть приращение координаты броуновской частицы определяется выражением

для любой пары моментов времени Здесь для обычного броуновского движения. Соотношение (9.12) служит определением случайной функции и применимо в момент независимо от того, известны значения в более ранние моменты времени или нет. Соотношение (9.12) часто дополняют условием но это лишь дело удобства. Имея определение, выраженное соотношением (9.12), можно найти координату по координате выбирая случайное число из гауссова распределения, умножая его на некоторую степень приращения времени и складывая результат с известной координатой Эта процедура применима и при Функция, определяемая соотношением (9.12), непрерывна, но она не имеет производных. Как следует из определения (9.12), случайная функция имеет распределение (9.9).

Из соотношения (9.9) вытекает, что преобразованная переменная определяемая выражением

при всех имеет гауссово распределение вероятностей

с нулевым средним значением и едничной дисперсией.