Глава 3. Фрактальная размерность кластеров

Определение размерности Хаусдорфа Безиковича (соотношение и тем самым фрактальной размерности множества точек требует, чтобы диаметр 8 покрывающих множеств стремился к нулю. Что же касается физических систем, то они, вообще говоря, обладают характерным минимальным линейным размером, таким, как радиус атома или молекулы. Применительно к идеям, изложенным в предыдущей главе, это означает, что математическую линию необходимо заменить линейной цепочкой «молекул», или мономеров. Как показано на рис. 3.1, двумерное множество точек мы заменяем плоским набором мономеров, а объем - некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи длиной равно

Для набора мономеров, образующих круглый диск, получаем

Плотность числа мономеров для плотно упакованных сфер составляет Выписанные нами соотношения применимы только в пределе при поскольку и периметр круглого диска, и сферическую

Рис. 3.1. Простые упаковки сфер.

поверхность шара можно покрыть мономерами только приближенно. Для трех перечисленных только что случаев мы можем указать асимптотическую форму для соотношения между числом частиц и размером «кластера», который оценивается по радиусу наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя; она имеет вид

Величина в этом соотношении «число частиц-радиус» называется размерностью кластера. Так как масса всех мономеров одинакова, число частиц часто интерпретируют как массу, - как плотность массы, а размерность кластера называют размерностью массы.

Плотность зависит от того, как упакованы мономеры. Например, если сферы упакованы в объеме случайным образом, то плотность понижается с до 0,637. Для других разновидностей кластеров выражение для плотности содержит множители, учитывающие форму кластера. Например, для эллипсоида вращения с отношением полуосей величина для плотной упаковки сфер определяется выражением . В то же время размерность кластера не зависит от формы кластера или от того, является ли упаковка мономеров упаковкой плотной, случайной или скважистой с равномерным распределением дыр.

Важно сознавать, что размерность определяемая соотношением (3.1), может быть нецелой, т.е. фрактальной. Чтобы пояснить это обстоятельство, обратимся снова к триадной кривой Кох. Построение триадной кривой Кох на рис. 2.8 состоит из повторного применения образующего элемента, который разбивает прямолинейные отрезки на более мелкие отрезки. Альтернативная точка зрения состоит в том, чтобы рассматривать каждый предфрактал как некую конструкцию из мономеров: один мономер соответствует одному образующему элементу. На рис. 3.2 показан такой подход к построению фракталов. Радиус мономера, т.е. образующего элемента, равен если образующий элемент, как обычно, покрывает единичный отрезок. Сам образующий элемент представляет собой наименьший кластер, или исходное поколение в процессе роста кластера. Первое поколение содержит мономеров и имеет радиус . В следующем поколении число мономеров возрастает до а радиус кластера - до поколении получаем Мы видим, что триадные «кластеры» Кох удовлетворяют соотношению число частиц - радиус (3.1) вида с размерностью кластера, равной фрактальной размерности триадной кривой Кох. В общем случае мы называем показатель в соотношении число частиц - радиус фрактальной размерностью кластера.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой того, как кластер заполняет занимаемое им пространство. Рассмотрим кластер на рис. 3.3, полученный с помощью процесса ограниченной диффузией агрегации (ОДА).

Рис. 3.2. Триадные кластеры Кох.

В этом процессе мономеры поступают из удаленного источника и диффундируют, совершая случайные блуждания. Достигнув кластера, блуждающие мономеры прилипают к нему. Процесс агрегации такого типа порождает кластеры с фрактальной размерностью в случае диффузии на плоскости, т. е. для размерности пространства Обширные численные эксперименты были проведены в пространстве с и позволили получить кластеры с фрактальной размерностью Относительно фрактального поведения в пространствах с размерностью от 2 до 6 см. работу Микина [153]. Последние результаты в области ограниченной диффузией агрегации см. в книге Жюльена и Боте [104] и в обзоре Микина [155, 156].

Следует особо подчеркнуть, что если кластер пористый или случайный, то это само по себе еще не означает, что он фрактальный. Фрактальный кластер отличается тем свойством, что с ростом размеров его плотность убывает по закону, описываемому показателем в соотношении число частиц-радиус. Если предпочтительнее ввести плотность числа частиц, то оказывается, что плотность на радиусе для кластеров, аналогичных изображенному на рис. 3.3, определяется выражением

и что эта плотность постоянна, только когда фрактальная размерность равна евклидовой размерности пространства, в котором находится кластер. Фрактальные кластеры имеют плотность, убывающую с увеличением расстояния от начала.

Рис. 3.3. Кластер, возникающий в результате двумерной ограниченной диффузией агрегации с Кластер, содержащий 50000 частиц, получен с помощью внерешеточного моделирования. Частица, совершающая случайные блуждания, движется из выбранной наугад точки на большой окружности, проведенной вокруг кластера. Кластер растет из зародыша в центре. Соприкасаясь с кластером, блуждающая частица прилипает к нему, после чего из новой наугад выбранной точки на окружности начинает двигаться следующая частица, совершая случайные блуждания. Порождающая кластер компьютерная программа составлена Полом Микином.

Фрактальная размерность кластера служит количественной характеристикой одной из особенностей кластера, а именно заполнения им пространства. Заметим, что фрактальная размерность кластера не описывает его форму. Существуют и другие характерные особенности кластера, которые также допускают количественное описание. Например, разветвленность кластера есть мера числа связей, которые нужно перерезать, чтобы изолировать произвольно большую часть кластера.

Удивительной красоты структуры, порождаемые процессом ОДА, наблюдались во многих системах различного типа, в которых динамика роста описывается уравнением Лапласа. В следующей главе мы опишем несколько подробнее фрактальные структуры, возникающие при образовании вязких пальцев в ячейках Хеле-Шоу и в пористых средах. Здесь же мы обсудим несколько аналогичных экспериментально наблюдавшихся структур. Например, Нимейер и др. [163] наблюдали структуры типа ОДА при пробое диэлектриков и обнаружили фрактальную размерность .

Рис. 3.4. Дендрит металла, выращенный электроосаждением цинка на поверхности раздела водного раствора сульфата цинка и -бутилацетата. Фрактальная размерность

Эти же исследователи создали модель пробоя диэлектрика для численного воспроизведения процесса. Предложенная ими модель полезна во многих отношениях и связана с моделью ОДА.

Мацусита и др. [150] наблюдали структуру типа ОДА, изображенную на рис. 3.4. Листок металлического цинка растет в двух измерениях и имеет фрактальную размерность кластера с Брэди и Болл [28] обнаружили, что электроосажденная медь при условиях, когда рост ограничен диффузией, образует трехмерные фракталы с фрактальной размерностью согласующейся с значением 2,5 для трехмерных кластеров типа ОДА.