7.8. Перколяция с вытеснением

Протекание с вытеснением - это динамический перколяционный процесс, введенный Уилкинсоном и Виллемсеном [219] для описания течения двух несмешивающихся жидкостей в пористой среде [34, 47]. Рассмотрим вытеснение масла водой в пористой среде. Если вода нагнетается очень медленно, то этот процесс происходит при очень низких капиллярных числах (см. обсуждение в гл. 4.). Это значит, что капиллярные силы полностью преобладают над вязкими и поэтому динамика вытеснения определяется процессами в масштабе отдельных пор. В пределе бесконечно малых капиллярных чисел можно пренебречь всеми скачками давления как в вытесняющей (воде), так и в вытесняемой жидкости (масле). Однако между этими двумя жидкостями сохраняется разность давлений (капиллярное давление), равное

(см. также (4.4)). Здесь -межфазное натяжение на границе жидкостей, -краевой угол между поверхностью раздела и стенкой поры, а -радиус кривизны поры в месте контакта жидкостей.

Часто случается так, что вода - «смачивающая» жидкость, а масло - «несмачивающая», т.е. краевой угол больше 90° и вода спонтанно вытесняет масло из пористой среды, если только давление воды не поддерживается на более низком уровне, чем давление масла. Важно отметить, что разность давлений зависит от локального радиуса поры или ее горловины в точке раздела жидкостей. В пористой среде должны присутствовать вариации (и, возможно, краевого угла) и поверхность раздела должна смещаться так, чтобы повсюду удовлетворялось уравнение (7.38). Капиллярные силы наиболее велики в самых узких местах системы пор. Таким образом, если горловины уже пор, то поверхность раздела воды и масла быстро движется сквозь горловины и тормозится, попадая в крупные поры. В согласии с подобными простыми теоретическими моделями и экспериментальными результатами это движение можно представить в виде ряда дискретных скачков, так что на каждом временном шаге вода вытесняет масло из самой малой из имеющихся пор, занятых маслом.

Уилкинсон и Виллемсен [219] предложили моделировать этот процесс в идеализированной среде, в которой решетку пор можно рассматривать как регулярную решетку с узлами и связями, играющими роль пор и связывающих их каналов (горловин). Случайность привносится в эту среду путем приписывания узлам и связям случайных чисел, которые характеризуют размеры соответствующих пор и горловин. Моделирование процесса на выбранной реализации решетки состоит, таким образом, в расчете движения поверхности раздела воды и масла по мере того, как она продвигается через самые малые из имеющихся пор, заполняя их вытесняющей жидкостью.

Рис. 7.16. Перколядия с вытеснением воздуха водой (показана черным) в модели, состоящей из регулярной решетки цилиндров диаметром и высотой заключенной между параллельными пластинами. Вода не смачивает вещество модели. Вода втекает в верхнем левом углу и вытекает внизу справа. Вытеснение происходит при

Этот подход применим и в том случае, когда несмачивающая жидкость, скажем воздух, вытесняет смачивающую жидкость. Тогда давление в вытесняющей жидкости больше, чем в вытесняемой, и поверхность раздела быстро распространяется через крупные поры, застревая в узких горловинах между порами. На рис. 7.16 показан пример структур, возникающих в этом случае.

Из рис. 7.16 явствует, что вытесняющая жидкость захватывает области вытесняемой жидкости. По мере продвижения вторгающейся жидкости она способна полностью охватить области, заполненные вытесняемой средой, т.е. полностью отрезать кластеры вытесняемой жидкости от узлов на входе в решетку. Это одна из причин возникновения проблемы «остаточной нефти» - жгучей экономической проблемы нефтепромыслов. Поскольку нефть несжимаема, можно сформулировать правило: вода не может вытеснить нефть из захваченных областей [219].

Теперь мы можем дать простое описание алгоритмов анализа перколяции с вытеснением.

1. Припишем каждому узлу на решетке размером случайное число принадлежащее отрезку [0,1].

2. Выберем места впрыскивания вытесняющей жидкости и места вытекания вытесняемой среды.

3. Найдем узлы роста как узлы, занятые вытесняемой жидкостью и соседствующие с вытесняющей средой.

4. Пропустим вытесняющую среду в тот узел роста, в котором случайное число принимает наименьшее значение.

5. Захват: узлы роста в областях, полностью окруженных вытесняющей жидкостью, теряют активность и исключаются из списка узлов роста.

6. Процесс вытеснения заканчивается, когда вытесняющая жидкость достигает узла, через который жидкость вытекает из системы.

В этой модели вытесняющая жидкость проникает от одного узла к другому, всегда выбирая узел роста с наименьшим случайным числом. Подчиняясь этому алгоритму, вытесняющий кластер растет в соответствии с локальными свойствами решетки. Правило, запрещающее вытеснение из захваченных областей, привносит в модель нелокальные черты. На вопрос, является ли данная область захваченной или нет, нельзя ответить, оставаясь на локальном уровне, необходимо провести в системе глобальный поиск.

Представляет интерес сравнение перколяции с вытеснением, не приводящей к появлению захваченных областей, с обычным перколяционным процессом, который мы описали в предшествующих разделах. При обычной перколяции рост кластеров можно описать следующим образом. Узлам решетки приписываются случайные числа из отрезка [0,1] и на решетке помещается затравка. Тогда для выбранного значения вероятности кластер растет, занимая все узлы, в которых случайные числа удовлетворяют неравенству Рост перколяционного кластера прекращается, когда на границе (периметре) кластера больше не оказывается таких случайных чисел. Только в том случае, если затравка окажется на внутреннем перколирующем кластере на пороге или на перколирующем кластере при перколирующий кластер вырастет до размера всей решетки. В отличие от этого процесса при перколяции с вытеснением кластер растет, всегда выбирая наименьшее из доступных случайных чисел, каким бы большим оно ни было. Однако, после того как на некотором шаге выбрано какое-нибудь большое число вовсе не обязательно, чтобы в дальнейшем выбирались еще большие числа, общем случае на поверхности раздела станут доступными меньшие числа и выбраны будут именно они. Кластер, показанный на рис. 7.17, образовался именно при таком процессе, увеличиваясь до тех пор, пока он не достиг границы системы.

Кластер, показанный на рис. 7.17, который возник при протекании с вытеснением, очень похож на перколяционный кластер, изображенный на рис. 7.10. Уилкинсон и Виллемсен [219] моделировали процесс вытеснения на решетках размером впрыскивая вытесняющую жидкость на левой границе и прослеживая процесс до тех пор, пока не наступало протекание, т.е. пока вытесняющая жидкость не достигала правой границы. Геометрия этого эксперимента иллюстрируется рис. 7.18.

Естественно, что если при конечном размере области продолжать вытеснение достаточно долго, то вытесняющая жидкость постепенно заполнит всю решетку. Как показали Уилкинсон и Виллемсен, число узлов центральной части (размером решетки в момент наступления протекания растет с размером решетки по закону

Рис. 7.17. Кластер, выросший при перколяции с вытеснением (без захвата) из центрального узла решетки размером Кластер, содержащий 7656 узлов, растет до тех пор, пока не достигнет одной из границ решетки.

Это соотношение аналогично зависимости (7.5), и фрактальная размерность при перколяции с вытеснением, но без образования захваченных областей оказывается равной фрактальной размерности внутреннего перколяционного кластера при значении концентрации Поэтому есть веские основания полагать, что процесс перколяции с вытеснением принадлежит к тому же классу универсальности, что и обычная перколяция [51].

Рис. 7.18. Перколяция с вытеснением (без захвата) на решетке размером с квадратными ячейками. Вытесняющая жидкость (черная) втекает через узлы на левой границе, а вытесняемая среда вытекает через правую границу. Протекание наступает, едва вытесняющая жидкость коснется правой границы.

В двумерных системах возможность образования захваченных областей очень сильно меняет картину перколяции с вытеснением. На рис. 7.19 показан кластер, возникающий, когда при перколяции с вытеснением допускаются захваты. Сравнение с кластером, изображенным на рис. 7.18, показывает, что возможность захвата приводит к сильному увеличению размеров полостей внутри кластера. Это проявляется в зависимости от размера решетки числа узлов лежащих в центральной части решетки размером при впрыскивании на одной стороне:

Этот результат был получен Уилкинсоном и Виллемсеном [219]. Было предпринято экспериментальное исследование очень медленного вторжения воздуха в двумерную систему из заполненных глицерином капилляров, имеющих случайные сечения и образующих квадратную сетку (рис. 7.20) [114]. Этот эксперимент продолжался и после наступления протекания. На правой границе образца могла помещаться полупроницаемая мембрана, не позволявшая воздуху выходить из системы; процесс вытеснения прекращался, когда захватывалась вся оставшаяся вытесняемая жидкость. Как обнаружилось, число капилляров заполненных воздухом, в квадратах размером подчинялось зависимости (7.40) с в согласии с численными расчетами.

Мы получали перколяционные кластеры с захваченными областями в следующем эксперименте. Воздух впрыскивался в центре двумерной круглой модели пористой среды, состоящей из слоя стеклянных сфер, которые размещались случайным образом между двумя пластинами. В согласии с ожидаемым результатом получившийся кластер, изображение которого приведено на рис. 7.21, имеет фрактальную размерность

Рис. 7.19. Перколяция с вытеснением и захватом на решетке размером с квадратными ячейками. Вытесняющая жидкость (черная) втекает через узлы на левой границе, а вытесняемая жидкость вытекает через правую границу. Протекание наступает, когда вытесняющая жидкость касается правой границы.

(кликните для просмотра скана)

Как видим, при образовании захваченных областей перколяция с вытеснением приводит к образованию фрактальных структур, фрактальная размерность которых меньше, чем при вытеснении без захвата или при обычной перколяции. Результаты экспериментов по вытеснению несмешивающихся жидкостей из двумерных пористых сред при очень низких капиллярных числах согласуются с результатами исследования перколяции с вытеснением при возможности захвата, представления о которой предложены Уилкинсоном и Виллемсеном [219].

Однако в трехмерных системах ситуация в корне меняется. Рассмотрим обычную перколяцию в простой кубической (п.к.) решетке, где каждый узел окружен шестью соседними узлами. Порог протекания для такой решетки равен а фрактальная размерность внутреннего перколяционного кластера, образующегося при критической концентрации равна Важно, что в этом случае имеется диапазон значений вероятности в котором перколяция происходит как по занятым, так и по свободным узлам, и оба типа узлов образуют бесконечные кластеры. Напротив, на двумерной квадратной решетке перколяция возможна либо по занятым, либо по свободным узлам и не существует диапазона значений вероятности, в котором перколирующими являются оба типа кластеров. Интересно отметить, что перколяция на треугольной решетке представляет собой промежуточный случай, поскольку в этом случае является порогом перколяции одновременно как по занятым, так и по свободным узлам.

Качественное отличие двух- и трехмерных систем распространяется и на перколяцию с вытеснением. Согласно Уилкинсону и Виллемсену [219], размерность кластера вторгающейся жидкости в момент наступания протекания равна к 2,52 как при захвате, так и без него. Существование целого интервала значений концентрации, в котором возможна перколяция и вытесняющей, и вытесняемой жидкостей, сильно уменьшает эффективность захвата. Даже когда вытесняющая жидкость уже может протекать от одной поверхности трехмерного образца до противоположной, большинство узлов все еще занято вытесняемой средой. Если продолжать процесс вытеснения, то захват вытесняемой жидкости начинается при Уилкинсон и Виллемсен нашли, что в этом состоянии число узлов вытесняющего кластера растет как так что такие узлы составляют конечную долю к 0,66 полного числа узлов простой кубической решетки размера Таким образом, в пределе, когда вытесняемая жидкость захвачена, вытесняющий кластер не является фрактальным. Диас и Уилкинсон [51] рассмотрели соответствующую модель - перколяцию с захватом, которая учитывает правило захвата, но пренебрегает эффектами, связанными с вытеснением. Эти исследователи проанализировали распределение размеров захваченных областей и получили серьезные указания на то, что вблизи критической

точки свойства перколяции с вытеснением и захватом принадлежат к тому же классу универсальности, что и обычная перколяция в трехмерных системах.

Трехмерный процесс перколяции с вытеснением трудно оуществить в эксперименте. Клемен и др. [38] впрыскивали с очень малой скоростью несмачивающий сплав Вуда снизу в уплотненное дробленое стекло и затем исследовали вертикальные и горизонтальные срезы цилиндрического образца. Они пришли к выводу, что, судя по горизонтальным срезам, перпендикулярным к направлению потока, сплав Вуда растекся по пористой среде самоподобным образом и фрактальная размерность распределения металла в срезе оказалась равной Эта величина несколько превышает фрактальную размерность 1,50, которую, как ожидается, должно иметь сечение внутреннего перколяционного кластера. Однако нельзя пренебрегать несомненным влиянием силы тяжести, из-за которого фрактальная размерность горизонтальных срезов зависит от их уровня.