2.7. Еще о скейлинге

К обсуждению масштабной инвариантности, или скейлинга, часто бывает полезно подходить с другой точки зрения. Рассмотрим изображенную на рис. 2.8 кривую Кох как график некоторой функции Этот график представляет собой геометрическое место точек плоскости, заданное соотношением Если при есть масштабный множитель, то триадная кривая Кох обладает тем свойством, что

с показателем Заметим, что в случае кривой Кох функция неоднозначна. Тем не менее скейлинговое соотношение выполняется для любой точки множества. Аналогичное построение применимо и к функциям, заданным на всех положительных действительных числах. Например, степенная функция удовлетворяет соотношению однородности

при всех положительных значениях масштабного множителя Функции, удовлетворяющие соотношению (2.12), принято называть однородными. Однородные функции играют очень важную роль в описании термодинамики фазовых переходов. Многое из того, что удалось достичь в последние годы в понимании критических явлений вблизи фазовых переходов второго рода, укладывается в следующее утверждение: критическая часть свободной энергии таких систем удовлетворяет скейлинговому соотношению

Здесь есть относительная температура, измеряемая от температуры фазового перехода а в данном случае - критический показатель удельной теплоемкости. Выбирая X так, чтобы выполнялось равенство (такой выбор масштабного множителя допустим, поскольку соотношение (2.13) выполняется при любом значении X), получаем критическую часть свободной энергии в виде Из термодинамического определения теплоемкости следует, что при удельная теплоемкость ведет себя как (такое поведение согласуется с экспериментальными данными). Аналогичная скейлинговая зависимость описывает статистические свойства протекания, или перколяции, вблизи порога протекания (подробности см. в гл. 7). Современная ренормгрупповая теория критических явлений объясняет, почему свободная энергия имеет скейлинговую форму и позволяет вычислять критические показатели.

Разумеется, и степенная функция, и многие другие функции, удовлетворяющие скейлинговому соотношению, не являются фрактальными кривыми. Однако масштабно-инвариантные фракталы обладают изящной скейлинговой симметрией, и большинство рассматриваемых Мандельбротом фракталов в том или ином смысле масштабно-инвариантны. Мандельброт отмечает, что масштабно-инвариантные фракталы могут использоваться в качестве приближения при описании природы - аналогично тому, как ранее мы использовали при описании природных тел прямые, плоскости и другие гладкие кривые и поверхности. Поразительно, сколь многого удается достичь, используя только масштабно-инвариантные фракталы, поэтому тщательное исследование их свойств - задача весьма благодарная.