12.1. Фрактальная размерность облаков

При исследовании геометрии облаков и зон дождя, размеры которых заключены в широком диапазоне от 1 до выяснилось, что периметр облака связан с его площадью А соотношением (12.2) с фрактальной размерностью границы облака . Эти результаты воспроизведены на рис. 12.2. Зоны дождя изучались с помощью отцифрованных радарных изображений, полученных с разрешением Радиолокатор принимает микроволновое излучение, рассеиваемое преимущественно крупными дождевыми каплями.

Рис. 12.2. Площадь дождевых и облачных зон, отложенная как функция их периметров. Черными кружками помечены радиолокационные данные о дождевых зонах, светлыми кружками - спутниковые данные об облачных массивах [116].

Зона дождя - это связное множество элементов изображения, в которых интенсивность осадков превышает (что соответствует легкому моросящему дождю). Площадь зоны дождя А равна сумме площадей элементов изображения, составляющих связное множество, а периметр, обозначаемый или определяется числом дождевых элементов изображения, которые соседствуют с элементами без дождевых капель. Кривизна поверхности Земли ограничивает радиолокационные исследования дождевых зон площадью до Результаты изучения дождевых зон представлены на рис. 12.2 черными точками.

Данные о системах облаков основаны на инфракрасных изображениях облаков над Индийским океаном, наблюдавшихся в узлах квадратной сетки Изображения были получены геостационарным спутником предназначенным для исследований окружающей среды. Чтобы избежать эффектов, связанных с изменением размера элемента разрешения изображений, использовались данные наблюдений лишь в относительно слабо искажаемых областях между 20° северной широты и 20° южной широты и в пределах по долготе от точки поверхности под спутником. Инфракрасный датчик спутника чувствителен в основном к чернотельному излучению, испускаемому облаками и поверхностью Земли. Для облаков, толщина которых превышает примерно инфракрасное излучение несет информацию о температуре верхней поверхности облака. Облачные и дождевые массивы физически тесно связаны с тропиками, потому что и те, и другие появляются в областях восходящих конвективных потоков, которые поднимают от поверхности влажный теплый воздух.

При адиабатаческом расширении этот воздух охлаждается и образует в результате конденсации пара облака и дождевые капли. Эти облака состоят в основном из переохлажденной воды, а не льда. Элементы изображения, в которых температура была ниже считались приходящимися на облака. Таким образом, облачные системы, ограниченные уровнем включают как кучевые, так и перистые облака. Как и ранее, площадь системы облаков определялась подсчетом числа облачных элементов изображения, а длина периметра определялась числом облачных элементов изображения, которые граничат с чистыми элементами. Результаты, полученные для множества различных облачных систем, отмечены на рис. 12.2 светлыми кружками. Следует однако заметить, что для компенсации разницы в разрешении радарных и спутниковых данных периметры спутниковых изображений были увеличены на множитель Этот множитель соответствует множителю в равенстве (12.2).

Самое замечательное свойство результатов, представленных на рис. 12.2, заключается в отсутствии сколько-нибудь заметных выпуклостей и изгибов в диапазоне, охватывающем шесть порядков величины по площади. Данные, представленные на рис. 12.2, относятся к облакам различной макроскопической формы, и тем не менее все они укладываются на одну прямую на графике площадь - периметр. Если выбрать другое значение температуры, определяющее границу облака, то площади и периметры меняются, но так, что соответствующие точки смещаются, оставаясь на той же линии. Это соотношение площади и периметра приводит к оценке фрактальной размерности границ облаков Важно понимать, что, как следует из этих результатов, в диапазоне от 1 до 10000 км нет каких-либо характерных масштабов длины связанных с физикой облаков. Этот результат заслуживает внимания потому, что априори можно было бы ожидать появления масштаба - толщины плотной атмосферы. Кроме того, измерения скорости ветра в чистой атмосфере доплеровскими радарами не обнаруживают выделенных масштабов длины в диапазоне от 4 до 400 км, а доплеровские измерения спектра скоростей ветра в зонах дождя не обнаруживают каких-либо выделенных масштабов в диапазоне от 1,6 до 25 км. Это приводит к заключению, что в атмосфере отсутствуют внутренние пространственные масштабы и ее можно наилучшим образом описать как фрактальную - облака, например, представляются самоаффинными фракталами.

Фрактальная форма градовых облаков изучалась в работе [188]. Эти исключительно мощные конвективные облака наблюдались с помощью радиолокатора, и для них было найдено соотношение периметра и площади, показанное на рис. 12.3. Каждая точка на этом рисунке соответствует определенному моменту времени (с интервалом 1 мин) в процессе эволюции облака.

Из рисунка ясно видно, что наклон зависимости меняется при значении периметра отмеченном штрихпунктирной линией.

Рис. 12.3. Соотношение периметра и площади градовых облаков, отложенное в двойном логарифмическом масштабе. Каждая точка соответствует определенному моменту времени в процессе эволюции облака. По линейным аппроксимациям (показаны сплошными линиями) были найдены фрактальные размерности (12.3) для 24 различных градовых облаков [188].

Это значение периметра соответствует диаметру Линейные аппроксимации наблюдаемого соотношения периметра и площади приводят к оценкам

При значениях периметра, превышающих эти наблюдения приводят к тому же значению фрактальной размерности границы облака, что и для менее мощных облаков (см. рис. 12.2). Напротив, для пространственных масштабов, меньших примерно границы облаков с крайне интенсивной конвекцией оказываются нефрактальными.

Теория фрактальной размерности облаков. Фрактальная размерность границ облаков была рассчитана Хентшелем и Прокаччей [88] в рамках предложенной ими теории относительной турбулентной диффузии. Согласно этим расчетам, размерность заключена в пределах Представляет интерес структура этой теории. Основная проблема заключается в том, чтобы объяснить, каким образом облако меняет со временем свою общую форму, сохраняя универсальную 11 фрактальную структуру. Не вызывает сомнений, что временное развитие облаков происходит не универсальным образом. Согласно Хентшелю и Прокачче, решение этой проблемы связано с тонким взаимодействием пространственных и временных масштабов в развитой однородной турбулентности. Еще раньше ими получен аналогичный результат, согласно которому их модель фрактально однородной турбулентности приводит к фрактальной размерности турбулентного поля, заключенной в пределах .

Хентшель и Прокачча предлагают простую модель облака. Состояние атмосферы определяется заданием таких параметров, как температура, давление, содержание водяного пара и размер капель, а также поля турбулентных скоростей. При радарных наблюдениях критерием различия между облаком и чистой атмосферой служит либо размер капель, либо температура. В рассматриваемой теории какой-нибудь параметр, например локальная температура 9, рассматривается как переменная, переносимая турбулентным полем скорости, но предполагается, что температура не влияет на скорость. С тем же успехом в качестве такой переменной можно выбрать радиус капель. Состояние атмосферы определяется заданием функции и поэтому эта модель пренебрегает физикой облаков, т.е. связями таких параметров, как температура, влажность и размер капель, учитывая лишь одну, так называемую пассивную скалярную переменную - например, и турбулентное поле скоростей ветра, переносящее ее. В данной точке пространства функция имеет некоторое определенное значение и, таким образом, можно рассматривать точку пространстве. Множество точек в четырехмерном пространстве является фрактальным; его размерность равна где коразмерность равна Определяя облако условием мы выделяем некоторую область в четырехмерном пространстве, описывающем атмосферу, фрактальная размерность которой тоже равна Однако поверхность облака, определяемая условием представляет собой множество точек в обычном пространстве. Это множество является пересечением множества У и множества фрактальная размерность которого Формально мы имеем Фрактальная размерность поверхности облака равна Это следует из эмпирического правила, сформулированного Мандельбротом [134, с. 365]: коразмерность пересечения двух независимых множеств в -пространстве почти всегда равна сумме их коразмерностей. В нашем случае это дает

и, следовательно, или что и утверждалось выше. Пересекая в трехмерном пространстве поверхность облака плоскостью, параллельной поверхности Земли, мы получаем множество точек -границу, размерность которой по эмпирическому правилу Мандельброта равна Итак, если удастся оценить коразмерность то мы получим и оценку фрактальной размерности облаков.

Результаты радиолокационных наблюдений показывают, что для облаков и зон дождя.

Согласно оценке Хентшеля и Прокаччи [88], фрактальная размерность границы облака (вернее, линии пересечения поверхности облака с плоскостью) заключена в пределах

что прекрасно согласуется с результатами наблюдений [116]. Нам кажется замечательным, что настолько упрощенная модель атмосферы способна привести к оценке фрактальной размерности облаков, которая согласуется с наблюдениями. Можно надеяться, что и в дальнейшем другие примеры наблюдательных оценок фрактальных размерностей будут находить подтверждение в физических моделях соответствующих систем.

Отметим, что облако в четырехмерном пространстве не самоподобно, а самоаффинно. Однако поверхность облака в трехмерном пространстве может быть и самоподобной. Эту особенность подчеркивал Фосс [213,214], и ему удалось построить действительно замечательные изображения фрактальных облаков такого изобразительного качества, которое достигалось прежде только художниками.

Лавджой и Мандельброт [117] предложили самоподобную фрактальную модель зон дождя. В этой модели дождевая зона рассматривается как суперпозиция отдельных элементов. Каждый элемент занимает площадь А и привносит в полную интенсивность дождя вклад Этот вклад может как увеличивать, так и уменьшать случайным образом полную интенсивность осадков на площади А. Предполагается, что площадь описывается гиперболическим распределением вероятности На рис. 12.4 показана модель с Получающиеся изображения выглядят вполне реалистичными. Мы также строили изображения облаков с помощью другого алгоритма, обсуждаемого в гл. 13.

Лавджой и Шертцер [118] заметили, что атмосфера стратифицирована и облака не самоподобны, а самоаффинны, поскольку вертикальное направление неравноправно с горизонтальным. Кроме того, сила Кориолиса приводит к закрутке облаков. В этой же работе обобщена модель фрактальной суперпозиции элементов - элементы считаются распределенными не однородно, а на фрактальном множестве точек пространства. И вновь получаются реалистичные изображения облаков. Как заметил Мандельброт [137], самоаффинная функция преобразуется по автомодельному закону в горизонтальных направлениях х,у при преобразовании и имеет другие законы подобия в направлениях , с коэффициентами подобия и гон соответственно. Здесь дополнительный показатель Липшица-Гёльдера. Учитывая обсуждение мультифрактальных мер, проведенное в этой книге, кажется вероятным, что на самом деле следует рассматривать облака как мультифрактальные меры определенные в пространстве.

Рис. 12.4. Изображения облаков, построенные с помощью модели фрактальных сумм элементов. Те области, в которых интенсивность осадков меньше определенной границы, показаны черным цветом. Интенсивность осадков откладывается в логарифмическом масштабе, белый цвет соответствует наибольшему ее значению. При моделировании использовалось значение показателя

Полное описание такой меры, вероятно, потребует введения целого спектра фрактальных размерностей. Короче говоря, облака являются мультифракталами, что и предложено в работе [118] (см. также [119]).