6.3. Фрактальные подмножества

В поколении отрезков имеют длину и одну и ту же меру Эти отрезки образуют подмножество единичного отрезка Точки множества имеют среди первых знаков после запятой в двоичном разложении -координаты одинаковое количество нулей, равное Разумеется, различным точкам соответствуют различные последовательности нулей и единиц. В пределе при величина равна доле нулей в представлении точки множества У бесконечной двоичной дробью. Множество Уфрактальное множество точек. Чтобы убедиться в этом, покроем множество отрезками длины 5, образуем -меру задаваемую соотношением (2.3), и определим фрактальную размерность этого множества, исследуя, как ведет себя при и

Используя формулу Стирлинга для факториала

получаем из формулы (6.9) приближенное выражение для

Замечая, что в нашем случае мы заключаем, что меру в формуле (6.12) (если пренебречь членом дающим только логарифмическую поправку) можно представить в виде

где показатель определяется выражением

Следовательно, -мера для множества У остается конечной при лишь при условии, если поэтому фрактальная размерность множества У равна

Популяция, порождаемая мультипликативным процессом, распределяется по множеству точек в единичном интервале .

Рис. 6.4. Фрактальные подмножества меры, порожденные биномиальным мультипликативным процессом с -фрактальная размерность подмножеств У интервала, содержащих точки в двоичном разложении которых (т.е. числа доля нулей составляет с, как функция от фрактальная размерность подмножеств с показателем Липшица-Гёльдера а как функция от а.

Это множество представляет собой объединение (теоретико-множественную сумму) подмножеств

Точки в любом подмножестве У имеют, не строго говоря, одинаковую плотность населенности. Множества фрактальны с фрактальными размерностями, определяемыми выражением (6.16). Их фрактальная размерность зависит от параметра На рис. 6.4, а представлен график зависимости от

Мера популяции, распределенной по единичному отрезку, полностью характеризуется объединением фрактальных множеств. Каждое слагаемое в объединении фрактально и имеет свою фрактальную размерность. Это - одна из причин, обусловивших выбор термина мультифрактал.