для
и через
для 0, можно записать
где снова
В точке
смещение струны непрерывно и равно смещению осциллятора, однако наклон струны в точке
может быть разрывным. Как показано на рис. 2.1,6, разрыв наклона в начале координат создает силу, движущую осциллятор.
Рис. 2.1. Система масса—пружина, прикрепленная к струне (а); силы, действующие на массу из-за вибрации струны (б).
По второму закону Ньютона, смещение осциллятора
определяется уравнением
где
и
— масса и постоянная пружины соответственно. Смещение осциллятора можно записать в виде
где
Следовательно,
Из (2.2.1) и (2.2.2) получим
где
есть резонансная частота осциллятора. Итак, коэффициенты прохождения и отражения суть приведенное выше выражение
и
Если частота падающей волны равна резонансной частоте осциллятора,
пределе при
имеем
пределе при
мы получим
Нули знаменателя, в (2.2.3) или (2.2.4) являются сингулярностями в выражениях для коэффициентов прохождения и
отражения. Они расположены в точках
Сингулярности находятся в нижней полуплоскости комплексной плоскости
и расположены либо симметрично относительно мнимой оси (для
), либо на мнимой оси (для
). Для
есть полюс второго порядка при
Расположение нулей в нижней полуплоскости гарантирует, что струна ослабляет, а не усиливает движение осциллятора. Действительно, уравнение (2.2.2) может быть записано в виде, соответствующем случаю вынужденных колебаний осциллятора с демпфированием. В этом можно убедиться, замечая, что выражение для движущей силы, действующей на осциллятор, задаваемое уравнением (2.2.2), может быть переписано в виде
Так как
эту движущую силу можно записать в виде
Следовательно, уравнение для осциллятора принимает вид
а это уравнение вынужденных колебаний осциллятора с демпфированием. Если выключить действующую на осциллятор вынуждающую силу, то колебания затухают за время, определяемое величиной
Это время, необходимое для того, чтобы накопленная в осцилляторе энергия ушла по струне.
Легко понять роль демпфирующего члена, рассматривая рассеяние падающего импульса, имеющего вид
-фуикции. Последнюю можно представить в виде
это пример упомянутого в разд. 2.1 фурье-представления. В этом случае все частоты дают вклады с одинаковой амплитудой, так что
Так как задача линейна и решения допускают суперпозицию, то рассеяние
-импульса можно построить путем интегрирования по рассеянию синусоидальных волн равной амплитуды со всеми частотами. Тогда для отражения
-импульса мы
имеем
где были использованы соотношения (2.2.1) и (2.2.8). Так как
при
последний интеграл в (2.2.9) содержит дополнительную функцию. Ее можно выделить, записав
Вычисляя остающийся интеграл методом контурных интегралов (см., например, [52], гл. 10), получим
где
единичная ступенчатая функция. Вычисляя это выражение при
мы видим, как отмечалось выше, что звучание осциллятора затухает в течение промежутка времени, пропорционального
Использование изложенного метода для описания рассеяния волн более сложными динамическими системами привело бы к довольно утомительным вычислениям. В следующем разделе мы рассмотрим более удобный способ описания такого рассеяния некоторыми более сложными системами.