2.2. РАССЕЯНИЕ ОСЦИЛЛЯТОРОМ

В качестве простого примера процесса рассеяния рассмотрим систему, состоящую из массы и пружины, прикрепленных к струне в точке как показано на рис. 2.1, а. Стационарная волна единичной амплитуды с угловой частотой падающая из частично отражается назад на а частично проходит через осциллятор на Обозначая, смещение струны через

для и через для 0, можно записать

где снова В точке смещение струны непрерывно и равно смещению осциллятора, однако наклон струны в точке может быть разрывным. Как показано на рис. 2.1,6, разрыв наклона в начале координат создает силу, движущую осциллятор.

Рис. 2.1. Система масса—пружина, прикрепленная к струне (а); силы, действующие на массу из-за вибрации струны (б).

По второму закону Ньютона, смещение осциллятора определяется уравнением

где и — масса и постоянная пружины соответственно. Смещение осциллятора можно записать в виде где Следовательно, Из (2.2.1) и (2.2.2) получим

где есть резонансная частота осциллятора. Итак, коэффициенты прохождения и отражения суть приведенное выше выражение и

Если частота падающей волны равна резонансной частоте осциллятора, пределе при имеем пределе при мы получим

Нули знаменателя, в (2.2.3) или (2.2.4) являются сингулярностями в выражениях для коэффициентов прохождения и

отражения. Они расположены в точках

Сингулярности находятся в нижней полуплоскости комплексной плоскости и расположены либо симметрично относительно мнимой оси (для ), либо на мнимой оси (для ). Для есть полюс второго порядка при Расположение нулей в нижней полуплоскости гарантирует, что струна ослабляет, а не усиливает движение осциллятора. Действительно, уравнение (2.2.2) может быть записано в виде, соответствующем случаю вынужденных колебаний осциллятора с демпфированием. В этом можно убедиться, замечая, что выражение для движущей силы, действующей на осциллятор, задаваемое уравнением (2.2.2), может быть переписано в виде

Так как эту движущую силу можно записать в виде

Следовательно, уравнение для осциллятора принимает вид

а это уравнение вынужденных колебаний осциллятора с демпфированием. Если выключить действующую на осциллятор вынуждающую силу, то колебания затухают за время, определяемое величиной Это время, необходимое для того, чтобы накопленная в осцилляторе энергия ушла по струне.

Легко понять роль демпфирующего члена, рассматривая рассеяние падающего импульса, имеющего вид -фуикции. Последнюю можно представить в виде

это пример упомянутого в разд. 2.1 фурье-представления. В этом случае все частоты дают вклады с одинаковой амплитудой, так что Так как задача линейна и решения допускают суперпозицию, то рассеяние -импульса можно построить путем интегрирования по рассеянию синусоидальных волн равной амплитуды со всеми частотами. Тогда для отражения -импульса мы

имеем

где были использованы соотношения (2.2.1) и (2.2.8). Так как при последний интеграл в (2.2.9) содержит дополнительную функцию. Ее можно выделить, записав Вычисляя остающийся интеграл методом контурных интегралов (см., например, [52], гл. 10), получим

где единичная ступенчатая функция. Вычисляя это выражение при мы видим, как отмечалось выше, что звучание осциллятора затухает в течение промежутка времени, пропорционального

Использование изложенного метода для описания рассеяния волн более сложными динамическими системами привело бы к довольно утомительным вычислениям. В следующем разделе мы рассмотрим более удобный способ описания такого рассеяния некоторыми более сложными системами.