5.1. МОДИФИЦИРОВАННОЕ УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза, одно из трех уравнений, которые будут введены в этой главе, реже всего встречается в приложениях. Однако оно теснее всего связано с уравнением Кортевега — де Фриза и поэтому дает нам самый естественный переход от результатов гл. 4.

Как отмечалось ранее, в случае модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза мы будем иметь дело с системой уравнений Захарова — Шабата в виде

где и действительно. Можно установить связь с уравнением Шрёдингера и с предыдущими результатами для уравнения Кортевега— де Фриза, введя новые переменные

Легко найти, что эти новые переменные удовлетворяют системе уравнений

которая, как отмечалось в разд. 1.5, эквивалентна паре уравнений Шрёдингера с комплексными потенциалами. Из (5.1.3) находим, что

Рассмотрим комплексный потенциал входящий в уравнение для Из предыдущего анализа известно, что если содержит параметр то при условии, что У удовлетворяет какому-либо уравнению из некоторой последовательности уравнений в частных производных, не будет зависеть от времени.

Первыми двумя из этих уравнений являются уравнение и уравнение Кортевега — де Фриза . Теперь можно задаться вопросом, что означают эти уравнения для У, когда речь идет о функции и. Первое из двух дифференциальных уравнений в частных производных для У приводит к уравнению

Простой способ с гарантией удовлетворить этому уравнению — выбрать , т. е. так, чтобы и удовлетворяло тому же уравнению, что и У. Таким способом новое уравнение не получается. Однако подстановка во второе уравнение для У, т. е. в уравнение Кортевега — де Фриза, дает

Это уравнение будет удовлетворено, если мы положим

что есть модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза. Следует отметить, что если решение этого уравнения, то также является решением. Аналогичное рассмотрение уравнения для снова приводит к модифицированному уравнению Кортевега — де Фриза в виде

Таким образом, мы показали, что если и удовлетворяет модифицированному уравнению Кортевега — де Фриза вида (5.1.7), то удовлетворяет уравнению Кортевега — де Фриза вида (4.1.1). Это соотношение между и называется преобразованием Миуры [85].

Линейные уравнения

Поскольку линейные уравнения для уравнения Кортевега — де Фриза уже определены, легко получить такие уравнения для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, используя только что отмеченную тесную связь между этими двумя уравнениями. Линейные уравнения, содержащие пространственные производные — это уравнения для Чтобы получить зависимость от времени, нужно вспомнить, что полученные для уравнения Кортевега — де Фриза результаты (4.7.2а) и (4.7.3а) позволяют записать

Сейчас мы образуем уравнения для складывая и вычитая эти уравнения для Из (5.1.2) имеем, что Если заменить У на

уравнения для суммы и разности дают

Уравнения (5.1.1) и (5.1.9) — это линейные уравнения, которые обычно используются при решении модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза методом Захарова — Шабата для обратной задачи рассеяния.

Решение методом обратной задачи рассеяния

Модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза решается с помощью той же процедуры, которая была использована для уравнения Кортевега — де Фрнза в предыдущей главе. На больших расстояниях, в области, где зависимость от времени дается предельной формой уравнений. (5.1.9)

Пространственная зависимость выражается теперь через , т. е. через фундаментальные решения системы двух уравнений (5.1.1), которые были введены в разд. 2.11 (с заменой на Рассмотрим решение пропорциональное при . Тогда при х, стремящемся Подстановка в первое из уравнений (5.1.10) дает Из (2.11.19а) получаем вид при Имеем

Снова подставляя в (5.1.10) и приравнивая коэффициенты, получим, что так что

Аналогичные вычисления с помощью решения пропорционального дают Этот результат следует также из равенства Так как снова является величиной, обратной коэффициенту прохождения, мы видим, что коэффициент прохождения снова не зависит от времени.

Для локализованных решений, связанных с нулями функции в верхней полуплоскости в точках можно,

испольэуя (2.11.37), написать

Мы подходим к решению модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, строя сначала функцию

где Затем рассматриваем систему уравнений Марченко

Согласно результатам разд. 3.6, решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза дается соотношением

Решение интегральных уравнений и определение эволюции импульса является простой задачей только в том случае, если коэффициент отражения для начального профиля импульса равен нулю. Тогда результатом являются чисто многосолитоиные решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза. Используя результаты разд. 3.7, мы тотчас же находим, что решение имеет вид

где единичная матрица порядка в свою очередь число нулей в верхней полуплоскости; квадратная -матрица с элементами

Как указывалось в разд. 2.11, нули функции могут либо лежать на мнимой оси, либо располагаться парами симметрично относительно мнимой оси.

Для простейшего случая матрица сводится к скаляру При и временной зависимости,

даваемой уравнениями (5.1.12), имеем

Как было показано в разд. действительно. Таким образом, выражение (5.1.18) сводится к следующему:

Как указывалось в (2.11.51), знак может быть как положительным, так и отрицательным. Наконец, односолитонное решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза имеет вид

где Для берется верхний знак, для нижний.

Решение в виде бризера

Сейчас мы рассмотрим новый тип локализованного решения, которое можно получить из модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза. Оно связано с тем фактом, что нули функции могут появляться парами, симметрично расположенными относительно мнимой оси в плоскости Профиль импульса имеет вид колебательного решения, модулированного огибающей, имеющей форму гиперболического секанса. Осцилляции и огибающая движутся с различными скоростями. Из-за ундуляций профиля при распространении этого импульса последний часто называют бризером. Чтобы получить аналитическое выражение этого решения, полагаем Затем используя (5.1.19) для определения элементов соответствующей -матри-цы, получим

Кроме того,

где Затем после некоторых алгебраических преобразований находим, что

Рис. 5.1. Бризерное решение модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза.

где определены выражениями Дифференцированием можно привести (5.1.26) к виду

где

Можно видеть, что выражение для имеет структуру, описанную выше. Из (5.1.28) находим, что фазовая скорость и скорость огибающей равны соответственно. В следующем разделе будет получено аналогичное решение, но с другими скоростями, для уравнения sine-Gordon. На рис. 5.1 показан график решения модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза в виде бризера.

Рис. 5.2. (см. скан) Взаимодействие двух бризериых решений модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза.

Решение в виде бризера является локализованным объектом, также обладающим существенной особенностью солитона, т. е. оно взаимодействует упругим образом с другим бризером [или солитоном типа (5.1.22)). На рис. 5.2 показано взаимодействие двух бризериых решений. Аналитическое выражение для этого решения может быть получено при рассмотрении решения (5.1.18) для при . В действительности, однако, решение было получено методом, который будет описан в разд. 8.2.

Для бризерное решение (5.1.27) является решением с малой амплитудой. Если, кроме того, предположить, что можно аппроксимировать это решение, записав

Фазовый член состоит из медленно и быстро меняющихся членов и может быть записан в внде где

Найдем уравнение, которому удовлетворяет член с малой амплитудой и медленно меняющейся фазой Записывая

и подставляя в модифицированное уравнение Кортевега—де Фриза, получим приближенное уравнение

При получении этого результата мы пренебрегли членами которые, согласно (5.1.29), пропорциональны . В независимых переменных уравнение для примет вид

Его называют кубическим уравнением Шрёдингера. Это третье из нелинейных эволюционных уравнений, которые рассматриваются в этой главе и будут исследованы в разд. 5.3.

В независимых переменных и приведенное выше решение имеет вид

где в аргументе гиперболического секанса мы пренебрегли членом высшего порядка, пропорциональным

(см. скан)

Другой подход к линейным уравнениям

Вид линейных уравнений для модифицированного уравнения Кортевега — де Фриза, (5.1.1) и (5.1.9), подсказывает унифицированную и упорядоченную процедуру получения линейных

уравнений, связанных с другими нелинейными эволюционными уравнениями [2]. Мы начнем с линейных уравнений (5.1.1) и предположим также, что, как и в случае уравнений (5.1.9), производные по времени от могут быть выражены в общем виде

Теперь приравняем выражения для смешанных вторых производных и в полученных равенствах используем линейные уравнения (5.1.1) и (5.1.35), чтобы исключить производные от по времени и координате. Как и при анализе уравнения Кортевега — де Фриза, наложим требование, чтобы спектральный параметр не зависел от времени, так что Так как линейно независимы, можно в уравнениях, получающихся вследствие приравнивания приравнять коэффициенты при Получим

и Таким образом, коэффициент отличается от —А на функцию времени, которой, как и при анализе уравнения Кортевега — де Фриза в разд. 1.2, можно пренебречь.

Теперь можно определить коэффиценты замечая, что, согласно (5.1.9), они являются полиномами от Полагая подставляя в (5.1.36) и приравнивая степени мы получим набор простых дифференциальных уравнений, из которых можно определить коэффициенты и Находим, что и

Наконец, члены в двух последних уравнениях (5.1.36), не зависящие от С, дают что является эволюционным уравнением. С помощью полученных выше выражений для находим, что

Полагая получим модифицированное уравнение Кортевега — де Фриза в виде (5.1.7). Как мы и ожидали, коэффициенты сводятся к коэффициентам, приведенным в (5.1.9.).