Главе 9. ТЕОРИЯ ВОЗМУЩЕНИЯ

Физические ситуации, при описании которых появляются стандартные солитонные уравнения, очень идеализированные. Включение эффектов, имеющих место в более реалистических экспериментальных ситуациях, особенно различных форм диссипации, приводит к уравнениям, отличающимся от стандартных солитонных уравнений. Если добавочные члены в уравнениях в некотором смысле малы, можно ожидать, что по крайней мере для некоторого начального интервала времени их влияние на различные ранее рассмотренные солитонные явления может быть малым. В этой главе мы изложим теорию возмущений, которая применима к уравнениям, слегка отличающимся от уравнения Кортевега — де Фриза и кубического уравнения Шрёдингера. Изложение основано на недавних результатах Карпмана и Маслова [69], где методы возмущений были применены и к некоторым другим солитонным уравнениям. В этой связи можно обратиться также к статье Каупа и Ньюэлла [71] и более поздней статье Карпмана [67].

УРАВНЕНИЕ КОРТЕВЕГА — ДЕ ФРИЗА

9.1. ОСНОВНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Рассмотрим возмущенное уравнение Кортевега — де Фрчза в виде

где и -некоторая заданная функция решения. Типичными примерами служат функция дающая простое описание диссипативного процесса, и функция вводящая диффузионные эффекты, связанные с уравнением Бюргерса (см. разд. 6.5 и 8.3).

Из наших предыдущих рассуждений в гл. 1 и 4 мы знаем, что выражение иххх можно записать как коммутатор операторов где Из предыдущего анализа следует также, что (9.1.1) можно записать в виде

Оператор по-прежнему удовлетворяет уравнению Штурма — Лиувилля

с тем отличием, что собственное значение к больше не является независящим от времени. Кроме того, выражение больше не равно Фактически в последующем анализе возмущений разность будет играть фундаментальную роль. Мы найдем, что определение приводит к выражениям, описывающим временную зависимость к, а также коэффициентов прохождения и отражения, обусловленную влиянием возмущения Дифференцируя по времени (9.1.3), можно получить уравнение для Вспоминая, что и используя (9.1.2) для исключения получим

Мы рассмотрим это уравнение как для решений со связанными состояниями, так и для решений рассеяния. В случае связанных состояний нас главным образом интересует временная зависимость Однако решения рассеяния включают в себя отражение и прохождение волны с заданным волновым числом, падающей на потенциал Падающая и рассеянная волны имеют одно и то же волновое число, следовательно, к не зависит от времени Таким образом, для решений рассеяния Конечно, коэффициенты отражения и рассеяния зависят от

Уравнение (9.1.4) может рассматриваться как неоднородное дифференциальное уравнение для Решение для можно построить из решений однородного уравнения с помощью стандартного метода вариации параметров. Введем фундаментальные решения которые являются решениями однородной другой части уравнения (9.1.4), когда и является решением уравнения (9.1.1). Асимптотические свойства те же, что и в (2.8.2). Так как и неизвестно, фундаментальные решения также неизвестны, но они будут получены приближенно, когда будет изложен метод возмущений.

Рассмотрим детально решение (9.1.4) для функции связанное с фундаментальным решением Записывая и вспоминая, что при обращении и в нуль выражение для В сводится к находим, что

Полагая снова мы видим, что обращается в нуль при Тогда если возмущение обращается в нуль, решение у сводится к решению для невозмущенного случая.

С другой стороны, при соотношение между (2.8.7а) приводит к следующему:

Перейдем к установлению связи между временной зависимостью и возмущением Это можно сделать, рассмотрев решение для промежуточных значений х.

Для произвольных значений х решение (9.1.4) можно записать в виде линейной комбинации

Стандартное применение к (9.1.4) метода вариации параметров дает

где

Видно, что решение для обращается в нуль как при , так и при При соотношения (9.1.7) и (9.1.8) дают

Приравнивая коэффициенты при в (9.2.6) и (9.1.10), можно получить уравнения, дающие зависимость от времени. Результат имеет вид

В случае решений рассеяния, где нас интересует коэффициент отражения, являющийся отношением Из (9.1.11) находим, что

На решения со связанными состояниями, где мы должны еще наложить ограничение так что Второе из уравнений (9.1.11) при теперь дает

В первом из уравнений (9.1.11) функция сингулярна в точках полюсов, соответствующих связанным состояниям. (Это видно из решения с одним полюсом, приведенного в упр. 15 гл. Однако при использовании и раскрытии получившейся неопределенности при мы получим

где точка означает производную по k. Член, содержащий не входит в эту формулу, поскольку он умножается на интеграл В (9.1.11а), который обращается в нуль, так как для связанных состояний Кроме того, отсутствует член, пропорциональный так как он пропорционален Этот последний интеграл, как отмечалось в упр. 17 гл. 2, пропорционален вронскиану который для связанных состояний обращается в нуль.

Получившиеся выражения (9.1.12) — (9.1.14) служат основой анализа возмущений. Из их структуры ясно, что можно начать построение возмущенных разложений по степеням используя под интегралами невозмущенные выражения для Сейчас мы проделаем эту процедуру для односолитонного решения.