1.5. РАСПРОСТРАНЕНИЕ НА СЛУЧАИ ДРУГИХ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

В этой вводной главе мы кратко рассмотрели связь между зависящим от параметра потенциалом уравнения Шрёдингера и нелинейным эволюционным уравнением. Потенциал считался действительной функцией как координаты, так и параметра. Когда потенциал менялся в зависимости от параметра таким образом, что удовлетворялось уравнение Кортевега — де Фриза, было найдено, что собственные значения (энергетические уровни) остаются постоянными. В последующих главах будут рассмотрены другие нелинейные эволюционные уравнения, которые аналогичным образом будут связаны с другими линейными задачами на собственные значения. Эти линейные уравнения эквивалентны уравнению Шрёдингера с комплексным потенциалом, хотя это и не всегда самая удобная форма для анализа линейных уравнений. В частности, мы встретимся с уравнением

Будет найдено, что функция и связана с нелинейными эволюционными уравнениями, называемыми модифицированным уравнением Кортевега — де Фриза и уравнением где

Легко показать, что уравнение (1.5.1) получается в результате исключения из двух уравнений первого порядка

Уравнения первого порядка, наиболее широко исследованные в теории солитонов, получаются из системы (1.5.2) с помощью преобразования Найдено, что функции удовлетворяют уравнениям

которые имеют тот же вид, что и уравнения (1.5.2), но в которых поменялись местами. Эти линейные уравнения, так же как и уравнения более общего вида

где могут быть комплексными, играют фундаментальную роль в теории солитонов (Абловиц и др., [2]). Особенно важен случай в уравнении (1.5.4). Он приводит к рассмотрению нелинейного эволюционного уравнения известного как кубическое, или нелинейное, уравнение Шрёдингера. Эти и другие нелинейные эволюционные уравнения будут рассмотрены после того, как в гл. 2 и 3 будут кратко изложены соответствующие свойства задач на собственные значения для линейных уравнений.