Глава 7. ПРИЛОЖЕНИЯ II
В гл. 6 мы рассмотрели некоторые физические ситуации, для описания которых пригодны наиболее известные солитонные уравнения. Эти уравнения могли быть затем решены с помощью методов, описанныл в предыдущих главах. Однако линейные уравнения, необходимые для решения указанными методами, приходилось вводить несколько искусственно, без какого-либо обоснования, поскольку их связь с физическими соображениями, приводящими к различным нелинейным эволюционным уравнениям, была неочевидной. Сейчас мы рассмотрим два примера, в которых физические или геометрические соображения дают не только солитонные уравнения, но и соответствующие им линейные уравнения.
В первом примере речь идет о движении вдоль вихревой нити спиральной петли в форме нити. Нить можно уподобить неплоской кривой в пространстве и, таким образом, описать уравнениями Серре — Фреис, т. е. системой линейных дифференциальных уравнений, на которых базируется теория неплоских кривых ((34), [105]). В свою очередь уравнения Серре — Френе могут быть переписаны в том же виде, что и уравнения Захарова — Шабата для метода обратной задачи рассеяния. В этом примере эволюционное уравнение оказывается кубическим уравнением Шрёдингера. Обсуждается кратко и связь некоторых других солитонных уравнений со спиральными кривыми.
Второй пример касается распространения светового импульса в атомной среде. Показывается, что уравнение Шрёдингера для идеализированных атомов среды снова приводит к линейным уравнениям метода Захарова — Шабата для обратной задачи рассеяния. В пределе, если пренебречь движением атомов, это уравнение сводится к уравнению sine-Gordon. Однако если сохранить движение атомов, мы получим пример распространения солитонов, которое в некоторых отношениях оказывается более общим, чем то, с которым мы обычно сталкивались.
Солитон на вихревой нити
Рассмотрим движение трехмерной изолированной вихревой нити. Если нить не идеально прямая, то на ней сказывается движение жидкости, вызванное ее собственной завихренностью, и она движется, таким образом, в некотором смысле самосогласованно. Мы начнем с краткого обсуждения приближений, используемых
при задании общих гидродинамических уравнений для рассмотрения этой задачи. Мы будем следовать методу Бэтчелора ([12], с. 509).
