3.8. КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ ДЛЯ СИСТЕМЫ ЗАХАРОВА — ШАБАТА В ВИДЕ РАЦИОНАЛЬНОЯ ФУНКЦИИ

Если коэффициент отражения является рациональной функцией к, то систему уравнений Марченко (3.6.10) и (3.6.11) можно решить, используя метод, разработанный в разд. 3.4 для уравнения Шрёдингера. Единственное различие состоит в том, что теперь соотношение между коэффициентами прохождения и отражения имеет вид где в качестве может быть взято либо либо . В случае когда коэффициент прохождения не имеет полюсов в верхней полуплоскости, мы теперь получим

Если есть полюсы в верхней полуплоскости, мы снова вводим функцию и следуем методу, развитому в разд. 2.11. Если есть полюсы на действительной оси, то соотношение (3.8.1) следует понимать в смысле главного значения интеграла, как в разд. 2.8.

В качестве простого примера рассмотрим потенциал, дающий коэффициент отражения где действительная положительная постоянная. В этом случае интеграл (3.8.1) понимается в смысле главного значения,

а это тот же интеграл, который был получен в (3.4.3). Следовательно,

Сначала определим потенциал для Так как теперь имеется полюс на действительной оси в начале координат, определим Беря при вычислении интеграла главное значение, находим, что Кроме

того, из (2.8.27) получим Таким образом,

Так как обращается в нуль при из уравнения Марченко (3.6.10а) следует, что при значит, и потенциал равен нулю при

Для опять же легче работать с интегральным уравнением, содержащим Из (2.11.26) имеем

Преобразование Фурье имеет вид

Итак, поскольку получим при Полагая находим, что система уравнений Марченко (3.6.11) сводится к алгебраическим уравнениям

которые имеют решение

Из (3.6.19) получаем, что н окончательный результат имеет вид

Если заменить на это выражение становится «обрезанным» потенциалом, рассмотренным в разд. 2.11.